Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
_ лл-внеш ALy = .,внеш AL2 = давнеш
Ж * ’ df У * "df 2 ’
Ly т* Ti гВНСШ <]¦ -.ВН0Ш -ВН0Ш
х, Lyi Lz и Mx , My у Mz — моменты им-
пульса системы и главные моменты внешних сил относительно соответствующих осей координат.
2°. Уравнение динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О, в жестко связанной с телом подвижной системе координат (jt', у', г'), начало которой находится в точке О, имеет вид:
HL ¦**-внеш т
— = M - со х L,
At
где LhM — момент импульса тела и главный момент приложенных к нему внешних сил относительно точки О, to — угловая скорость вращения тела, a ^ =
At
AL . AL . AL,. ,
= і + —ї- і + —- к — относительная производ-df df df
ная по времени от вектора L, i', j' и k' — орты подвижной системы. Если оси подвижной системы координат совпадают с главными осями инерции тела в точке О, то уравнения движения тела в проекциях на эти оси имеют вид
^1*^1 + (Jg — J2)C02C0g = M |«
JgtOg + (J ^ J -^*2’
J g [О3 4" [(/ 2 J j )tOj COg
где J1, J2 и J3 — главные моменты инерции тела в точке О, CO1, CO2 и COg — проекции вектора угловой скорости
Tt-ла на главные оси инерции, й>; = t^-1 (i = 1, 2, 3), a M1,
84 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
M2 и Ms — моменты всех внешних сил относительно тех же осей. Эти уравнения называют динамическими уравнениями Эйлера.
3°. Основной закон динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz:
d L2 , -ВНЄШ d / г \ я гВНеш
—5 = Mz или -f- (JzCOz) = Mz ,
At z dt z
где Jz — момент инерции тела относительно оси Oz. Если тело не деформируется, то Jz = const и
T „ -.внеш
Jz Ez = Mz ,
й<?>-
где E2 = - —¦ угловое ускорение тела,
dt
4°. Свободное твердое тело в общем случае одновременно участвует в двух движениях — поступательном со скоростью Vc центра масс тела и вращательном вокруг центра масс с угловой скоростью ш. Векторы Vc и «в удовлетворяют следующим двум дифференциальным уравнениям движения свободного твердого тела'.
,-,внеш ALc -,внеш
m&r =F и —X = Mr
с dt с
где т — масса тела, ас — ускорение центра масс,
—,внеш ,-.внеш
F — главный вектор внешних сил, Mc — главный момент внешних сил относительно центра масс С, a Lc =Jrxv' dm, где г' и V — радиус-вектор и ско-
т
рость малого элемента тела массой dm в поступательно движущейся системе координат с началом в точке С,
Для описания вращения твердого тела вокруг его центра масс справедливы также динамические уравнения Эйлера, в которых Ji, O1 и (г = 1, 2, 3) — главные центральные моменты инерции тела, проекции угловой скорости тела на его главные центральные оси инерции и главные моменты внешних сил относительно тех же осей.
1.4 4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
85
4. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
1°. Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой механической системы относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени, т. е.
— =0 и L = const.
d t
Если замкнутая система состоит из п материальных точек, а неподвижная точка принята за начало координат неподвижной инерциальной системы отсчета, то
п
^ IV. X TUiVi = const, і = I
dr(
где rit Pii и v( = — радиус-вектор, масса и скорость
і-й материальной точки системы.
В проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат закон сохранения момента импульса записывается в виде следующей системы уравнений:
п
Y1 mi (yPtz - ziviy) = const>
I= I
Tl
X mi (Z‘V^ ~ X‘V‘J = C0nst’
i- I
Tl
Yj mi ixMy ~ УPiJ = COnSt-
і = I
Закон сохранения момента импульса — один из фундаментальных законов природы, связанный с изотропностью пространства.
86 1.4 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
2°. Из закона изменения момента импульса следует, что момент импульса замкнутой системы относительно ее центра масс не изменяется с течением времени:
= Mr = 0 и Lr = Lr = const,
dt
где для системы, состоящей из п материальных точек,
п /г
LC = Dm* Г> * V‘ = S Ші (Г' “ ГС> Х V«’
І = I t = I
п п
LC = X т, г,' * v'i = X (r' ' Гс) Х (vi - Vc)-
і = 1 і = I
В проекциях на оси Cf х\ Ofу и OV подвижной системы, перемещающейся поступательно так, что ее начало О' всегда совпадает с центром масс, закон сохранения момента импульса записывается в виде системы уравнений:
п
A X TniIvrt Vriz - Zri Vrly) = 0,
І= 1 Tl
А X г‘- ~ ** игг) = 0*
І= 1 п
А х (*i O = 0-
і = 1
3°. Если момент внешних сил относительно центра масс твердого тела равен нулю, то вращение тела вокруг центра масс называют свободным (инерционным) вращением. Оно описывается следующими тремя уравнениями, вытекающими из уравнений Эйлера:
с/jCO1 4" (J2
J2 *^2 ^I 3)Ю3Ю1 0,
J3W3 + (J2 — і)®і*°2 ~
где J2 и J3 — главные центральные моменты инерции тела, a Co1, ш2 и шз — проекции вектора угловой
1.4.5. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ЦЕНТРАЛЬНЫХ СИЛ
87
скорости тела на главные центральные оси. При этом центр масс тела движется по закону
тптс = F,
где F — главный вектор системы внешних сил, т — масса тела.