Справочник по физике для инженеров и студентов - Яворский Б.М.
ISBN 5-488-00330-4
Скачать (прямая ссылка):
9) кольцо со средним радиусом R с круговым поперечным сечением радиусом г (тор); ось Oz' перпендикулярна к плоскости, в которой лежат центры поперечных сечений:
JX- = 1V = ^(4^ + 5/-2), Jz. = т(й2 + |г*).
1°. Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно некоторой точки (полюса) называют векторную величину Li, равную векторному произведению радиуса-вектора Ti материальной точки, проведенного из полюса, на им-иульс материальной точки P1 = TniVi:
Моментом импульса или кинетическим моментом « истемы материальных точек относительно полюса на-¦ывают вектор L, равный геометрической сумме мо-мгптов импульса относительно того же полюса всех п !••чек системы:
Jx, = ^(Ь2 + с2), Jy. = ™ (а2 + с2), ^(а2 + Ь2);
2. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
L; = Ti X TtilVi.
П
L= xmivr
і~ X
80 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
Момент импульса тела относительно полюса равен L = j" г XV dm = j"r х v р AV,
т V
где г, V и р — соответственно радиус-вектор, скорость и плотность малого элемента тела, имеющего массу dm и объем AV.
2°. Центр масс С системы материальных точек обладает тем свойством, что моменты импульса этой системы относительно С для абсолютного движения точек (Lc) и для их относительного движения (Lc- ) по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в точке С одинаковы: Lc = Lc-, т. е.
Tl Tl
X1Vxmi-Vi= XrJxmiV;,
1=1 1=1
где Vi и Vj- = Vi — Vc — скорости абсолютного и относительного движений точки с массой Tni, положение которой относительно С определяется радиусом-вектором IV = = Ti — гс. Моменты импульса системы относительно ее центра масс (Lc) и неподвижного полюса (L) связаны соотношением
Lc = L - mrc Xvc=L - гср,
П
где тп = X mi — масса системы, vc — абсолютная ско-
i = і
рость центра инерции по отношению к полюсу, ар = = TTlVc — импульс системы.
3°. Моментом импульса системы материальных точек (тела) относительно оси а называется величина La, равная проекции на ось а вектора L момента импульса системы (тела) относительно любого полюса, принадлежащего этой оси. Моменты импульса системы п
1.4.2. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
81
материальных точек относительно осей неподвижной прямоугольной декартовой системы координат равны:
п
LX = X “ ZiViy)mi’
І — I
п
Ly = 2j(ziVix~ Xiviz>mi’
І — I
Я
= 'ZlXiVty-ViVix)mi’
І = I
где Xil yt, Zi — координаты і-й материальной точки системы, vix, viy, viz — проекции ее скорости Xi на оси координат.
Для тела проекции вектора момента импульса равны Lx = j(Уи? - zvy)dm,
т
L1,= J(zvz - xvy)dт,
т
Lz = j (xvz - yvy)dm,
т
где х, у, г — координаты малого элемента тела массой dm, a vx, vy, Vz — проекции скорости этого элемента на оси координат.
- Момент импульса тела или системы материальных точек относительно произвольной оси а, проходящей через начало координат, равен
La = Lx cos a + Ly cos р + Lz cos у,
где а, р, у — углы, образуемые осью а с осями координат Ox, Oy, Oz.
4°. При вращении твердого тела вокруг неподвижной точки полюса О с угловой скоростью со момент импульса тела L относительно полюса пропорционален модулю угловой скорости (L ~ со), но в общем случае не совпадает с «в по направлению. Связь между проекциями
82 1.4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
векторов L и to на оси неподвижной декартовой системы координат с началом в точке О имеет вид Lx — Jххюх — JXyWy — Jxz(S)z,
Ly = -JyX0iX + Jyyoiу - JyZ0iZ•
Lz = -jZX0iX + Jzytsiy - jZZ0iZ-
Здесь Jxx, Jyy и Jzz — моменты инерции тела относительно осей Ojc, Oy и Oz, a Jxy = Jyx, Jxz = Jzx и Jyz = = Jzy — центробежные моменты инерции тела. Если х, у и 2 — координаты малого элемента тела массой dm, то
jXX = I (У2 + Z2) dm> Jyy = J (*2 + 22) dm> т т
jZZ= {(У2+ у2) Am, т
Jxy = Jxy dm, Jxz = JXZ dm, Jyz = jyz dm.
m m m
Векторы L и а, в отличие от их проекций на оси координат, не зависят от ориентации этих осей относительно тела. Если оси координат совпадают с главными осями инерции тела в точке О, то все центробежные моменты инерции равны нулю.
5°. При вращении тела вокруг неподвижной оси а момент импульса тела относительно этой оси равен произведению момента инерции тела Ja относительно этой оси на модуль угловой скорости тела (если принять за положительное направление оси а направление вектора to): L0 = J0CO.
3. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
1°. Закон изменения момента импульса-, производная по времени от момента импульса L механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна главному моменту M внеш относительно той же точки всех внешних сил, действующих на систему:
dL _ jyjвнеш
At
I 4.3. ЗАКОН ИЗМЕНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
83
В частности, для твердого тела это уравнение выражает основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси неподвижной прямоугольной декартовой системы координат с началом в полюсе О закон изменения момента импульса системы записывается в виде: