Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
в том и только в том случае, когда тензоры Eai = Rafiin ^ ^ix = Хах;
*
HaK = — яофа.мт^, ГДЄ T? — ЄДИНИЧНЬіЙ ВрЄМЄИНО-ПОДОбнЬіЙ ВЄК-тор, удовлетворяют соотношениям:
EaiEax-HaxHah=O; ЕоьЕ№" = 0; HabH^H*" = 0.
За. Согласно критерию Лихнеровича волновыми следует считать лишь пространства, принадлежащие подтипу N.
(9.4)
(9.6)
171: 36. Критерию Лихнеровича эквивалентен критерий Малдыбае* вой [147], формулируемый в виде общековариантных уравнений для тензора Римана — Кристоффеля: '
ga\oVtfa?»v - ZRmvxRafipl = 0. (9.7)
Следующие три критерия гравитационных волн выделяют подмножества пространств подтипа N.
4. Критерий Зельманова исключает из подтипа N два вида симметрических пространств [144, с. 84]. Пространство-время описывает гравитационные волны в том и только в том случае, когда его тензор Римана — Кристоффеля Ra^v не является ковариант-но постоянным, т. е. V^aPjiv=Jfe 0, и удовлетворяет общековари-антному волновому уравнению
g°\oVxRa№ = о. (9.8)
5. Критерий Хэли из пространств подтипа N выделяет случаи (так называемые волны интегрируемого типа), когда для волнового вектора ka выполняется условие ka = dkldxa, где k — скалярная функция координат.
6. Критерий Зунда — Левина к критерию Хэли добавляет требование, чтобы волновые пространства были конформно-плоскими.
Есть и другие алгебраические критерии гравитационных волн.
Для алгебраического подхода к поиску критериев гравитационных волн характерны следующие недостатки.
1. Как уже отмечалось, сформулировано множество критериев и нет достаточно веских оснований остановиться на одном из них,
2. Если алгебраический подход опирается на аналогию с электромагнитным полем, то следует иметь в виду, что условие равенства нулю двух инвариантов электромагнитного поля еще не означает наличия именно электромагнитного излучения. Действительно, пусть имеются взаимно перпендикулярные постоянные электрическое и магнитное поля (Ej_H) и пусть их напряженности равны (|Е| = |Н|), тогда оба инварианта обратятся в нуль, но никакого излучения нет. По-видимому, аналогичная ситуация может иметь место и в случае гравитации. Заметим, что даже для электромагнитного поля нет удовлетворительного критерия излучения.
3. Как будет показано, есть метрики, которые по ряду веских соображений следует понимать как волновые, но они не удовлетворяют ни одному из перечисленных выше критериев. Примером могут служить цилиндрические волны Эйнштейна — Розена (см. § 9.4).
4. Рассмотренные критерии относятся к идеализированным метрикам, далеким от соответствия физической реальности. Внесение сколь угодно малой массы в пространства, ранее удовлетворявшие какому-либо волновому критерию, существенно изменяет их алгебраический тип. Все это заставляет при поиске критерия излучения использовать и другие соображения.
172: 9.3. РЕФЕРЕНЦИОННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ
ВОЛН
В этом подходе (такой подход к определению гравиинерциальных волн был предложен в работах [144, 148] в рамках метода хронометрических инвариантов) гравиинерциальные волны определяются и описываются сугубо в терминах и операторах методов задания систем отсчета. В общековариантном монадном виде ре-ференционный критерий существования гравиинерциальных волн означает [149], что
1) всевозможными способами спроектированные посредством тд и A^ исследуемой системы отсчета компоненты тензора Римана— Кристоффеля Rn-XixVjYixvI и Ziuvap— удовлетворяют волновым уравнениям вида
(д2т - Ад%Vv ) Rn = Фл, , (9.9)
где <Djv — произвольная тензорная функция координат, не содержащая производных выше первого порядка от Rn; Rn — собирательное обозначение компонент всех проекций тензора Римана — Кристоффеля;
2) левая часть уравнений (9.9) должна быть нетривиальной х;отя бы для одной компоненты Rn, т. е. соответствующий (ие) тензор Rn должен быть нестационарным и пространственно-неоднородным:
дтЯыФ 0; SJvRn ф0. (9.10)
В этом критерии существенно требование нетривиальности левой части (9.9), так как само уравнение выполняется всегда, хотя бы вследствие тождества, справедливого для пространств Эйнштейна:
SVА,Vff^M-ct?V + Roafi1 Rlnv° + 2 (RoavlRii^fi0 + Rana^RvXfi°) = 0. (9.11)
Проектируя эти тождества посредством тд и A^ и переходя к монадным величинам и операторам, получаем соотношения:
(дт — AmaVl^Vv) Yafio = ^afio', ( дт — AlivVnVv) Zafiol, = ^afioV
(3)
(9.12)
где Фар> Фар0, Фсфсй, — ковариантные тензорные функции, не
(О (2) (3)
содержащие Производных выше первого порядка Xafi, Yafio, Zafiko .
Важно, что референционный критерий формулируется для компонент тензора Римана — Кристоффеля. Этот подход, можно сказать, обобщает и в некоторых отношениях конкретизирует алгебраический подход. В частности, ряд алгебраических критериев гравитационных волн (Малдыбаевой, Зельманова и др.) фактиче-
173: ски соответствует различным способам обрезания тождества (9.11).
Если референционный критерий выполняется не для всех трех тензоров Xf Yf Zf а только для одного или двух из них, то следует говорить о гравиинерциальных X-f У-, Z-волнах или о смеси их. Однако в вакууме, вследствие соотношения Rylv = 0, величины
