Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
где вектор P^ — аналог псевдотензора гравитационного поля. Сохраняющейся величиной является
E' = I V=7I (Pil + Pl da?. (8.28)
Рассмотрим одну из конкретных реализаций этой процедуры. Используем дененовское определение величины Pn [54]. В этом варианте
fw = (1/и) (Tvili - Tlitv) = (1/х) (- 2A?V - FllTv + FvTll). (8.29) Ковариантная дивергенция этой величины в монадном виде равна: .ftlv;v = (1/х) (- 2vvV + 2 AtlvFv + 2T?AafiAap - dTF? + DFix --2 FvDtiv+ Tll^Fv).
Учитывая монадный вид проекций уравнений Эйнштейна (3.36), (3.37), из (8.25) находим проекции вектора Pyx в вакууме:
р = P^4 = (1M (Aa^ + Da?Da? + FocFa-dTD); (8.30)
Po = - Aou P? = (Щ [vv {Dl + Av0 + hlD) + Zivct (дт - D) Fv]. (8.31)
Отсюда видно, как добавок р в сохраняющемся обобщенном выражении для энергии (8.28) строится из физико-геометрических тензоров, характеризующих движение системы отсчета. В частности, в него входят квадратично тензоры угловой скорости вращения и ускорения системы отсчета. Переходя от одной системы отсчета к другой, можно в широких пределах изменять величины, (8.28) и (8.30). Таким образом, величину Pm" естественно назвать
162: (дененовским) вектором энергии гравиинерциального поля.
Особенно рельефно проявляется суть вектора р11 в вакууме в киллинговых системах отсчета:
' р = +FaFa); (8.32)
Ро = [Щ{ч?АУ.о-дТРо). (8.33)
Отсюда видно, что дененовское выражение для плотности энергии гравиинерциального поля в киллинговых системах отсчета очень напоминает плотность энергии электромагнитного поля (3.51), записанную через компоненты электрической и магнитной напряжен-ностей. Заметим, что р может быть отлично от нуля даже в плоском пространстве-времени в неинерциальной системе отсчета.
В метрике Шварцшильда в покоящейся системе отсчета плотность дененовской энергии гравиинерциального поля имеет вид:
р = (Ifn)FaFcc = — (М2?/8яг4) (1 — 2kM/c2r)"1« — (1/8я?) g2, (8.34)
где g — ускорение силы тяжести.
Из формул (8.24) — (8.26) видно, что описанным методом можно получить счетное число законов сохранения. Для этого следует использовать различные виды антисимметричных тензоров построенных из физико-геометрических тензоров и их производных. В общем случае в качестве ^ixv можно выбрать величину [129]
fiiv = (1/и) WoiAliv + а02 (TllFv — TvFll) + а03 (т^kDv — +
+ % (t?WA\ — Tv^iAxll) + аоъ (? dTFv — TvO7Fix) +
+ ^o5 (^Vv D — тvViT?) + . . . +
+ (те же выражения с коэффициентами аи, умноженными на D) + -Ь (те же выражения с коэффициентами а2г, умноженными на
FaFa)+...), (8.35)
где aik — постоянные. Итого, в общем случае имеем бесконечно много возможностей *. Дененовское определение представляет собой частный случай, когда ^oi = —2, а02=1, а остальные коэффициенты равны нулю.
Несмотря на неоднозначность, монадный подход обладает рядом преимуществ по сравнению с псевдотензорным:
1) удается ввести истинные скаляры для выражения плотности энергии (точнее, квазиэнергии) гравиинерциального поля, для которых корректно определена операция интегрирования;
2) скалярные плотности энергии сконструированы из монадных физико-геометрических тензоров, т. е. получающиеся величины
* С других позиций множество возможностей определения энергии гравиинерциального поля в рамках метода хронометрических инвариантов рассматривалось в [137, 138].
6 Зак. 1152 допускают однозначную физическую интерпретацию;
3) вид тензора ^liv, вообще говоря, приводит к сравнительно «обозримому» числу физически приемлемых вариантов выбора выражений для квазиэнергии гравиинерциального поля.
8,4. ОПРЕДЕЛЕНИЯ СУПЕРЭНЕРГИИ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНОГО ПОЛЯ
Многие монадные векторы энергии гравиинерциального поля из (8.35), в частности дененовский, обладают тем недостатком, что они могут быть отличными от нуля даже в плоском пространстве-времени, когда о гравитационном поле нет смысла говорить. В последнем случае плотности квазиэнергии целиком определяются характеристиками неинерциальных систем отсчета. Поэтому особо рассмотрим такие монадные векторы энергии гравиинерциального поля, входящие в множество1, определенное (8.35), которые в плоском пространстве-времени обращаются в нуль. Пусть
^fxvap/a?, (8.36)
где в качестве антисимметричного тензора /a^ =—/0^ можно использовать любой тензор из (8.35). Тогда монадный вектор энергии определяется
выражением
Plt=UWVv(^fap)- (8-37)
Используя тождества Бианки, Pm* можно представить в виде
р* = (IM) ff+ (8.37а)
С помощью уравнений Эйнштейна, тензор Риччи справа можно выразить через тензор энергии-импульса материи. Тогда плотность сохраняющейся величины будет описываться выражением
V=? S = V=7? {7^ TtlTv + Г-Р [7?- Tla + (1/2)(4^- g'i х
X T 0) V+ (Vx)^ap f$\. (8.38)
Если здесь совокупность всех членов, содержащих тензор энергии-импульса материи, назвать плотностью суперэнергии материи, то последний член
V=IP=(V=? /*) V^a? /Tv (8-39>
следует назвать плотностью суперэнергии гравиинерциального поля. В качестве примера выберем
f# = a(Far*-F*T?'), (8.40)
