Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
2 Ddx2dx3,
где Л, Bf Df P я S—функции аргумента X0—Xх. Уравнения штейна соответствуют условию, налагаемому на функции
MeIeI — (Ma)2IM — AaBaJ(Da)2 = 0, где M = AB-D2;
единица после запятой означает дифференцирование по х1.
Определим систему отсчета кинеорометрической калибровкой диады в использованной здесь системе координат. Тогда составляющие метрического тензора имеют вид:
P у 5
; 0; о
H0iVSSs = 0s0K-(S
(BD).
(9.28)'
Легко также вычислить диадные физико-геометрические тензоры: 2 SP
F = D =
PPa-PSa
2 P (P — S)
-S)3/2
JWs
= A5 = 0;
(9.29>
^ferl = — ^T1 - -Y6Tb 1/2 УЯ — 5 . Оказывается, вектор Дебеве непосредственно определяется диадой (9.28^: ^a = Tm" + Zm. Видно, что ^ удовлетворяет уравнению (9.26). Нетрудно убедиться, что отличны от нуля лишь по-перечно-поперечные компоненты тензора Римана — Кристоффеля* (Хщ = — Hyi), которые в общем случае нестационарны и пространственно-неоднородны. Таким образом, данная метрика удовлетворяет как алгебраическому критерию (Лихнеровича), так и референционному. На основе диадного подхода в рассматриваемой системе отсчета метрику Такено можно интерпретировать как описывающую продольно-несвободный гравиинерциальный волновой процесс (когда прохождение волны сопровождается ускорением системы отсчета в направлении распространения волны).
Метрику Розена [144, с. 137] можно записать в виде
ds2 = ехр (2[а) (dxl — dx\) — и2 (ехр (2v) dx\ — ехр (— 2v) dxt), (9.30)
где yi(u) и v(^) —функции от U = X0—Xі, удовлетворяющие уравнению 2fx ,it = m(v,m)2.
Определим опять диаду {т, /} кинеорометрическим способом в системе координат, в которой записана метрика (9.30). Тогда
T? = {exp(—li); 0; 0; 0}; Ґ = {0; ехр (—JA); 0; 0};
ехр (— 2v)
Jv
0
ехр (2v)
(9.31).
179: Для диадных физико-геометрических тензоров имеем:
F = D = ехр (— її) F1 = Д = Q1 = A1= 0; j (9 32) Dln = — dm = (1 /2) exp (— \i) Vferif J
где штрих означает дифференцирование по и. Легко убедиться, что опять вектором Дебеве является Zjm" = тй -|- и выполняются условия (9.26).
Таким образом, опять данная метрика в системе отсчета (9.31) описывает продольно-несвободный гравиинерциальный волновой процесс.
Объемные волны Бонди — Пирани — Робинсона [154] описываются метрикой
ds2 = dxl — dx 2i + adxt + 2 $dx2dx3 + ydx з, (9.33)
где a, ?, у — функции от и = х° + х1, удовлетворяющие уравнению
Г — (1/2) Я' (In Xy — a'f — ?'2 - 0; K = ay — ?2 > 0.
начает дифферені трической калибр
Tli= {I; 0; 0; 0};
Здесь штрих означает дифференцирование по и. В кинеорометрической калибровке
irEri-
Vі ={0; 1; 0; 0};
F = D = 0; F1 = fl = ql = A6 = 0; Dltl= (1/2)<?Т|1)/д*0; ^r1 =(1/2) дуі^дх1.
(9.34)
Вектор Дебеве равен №= тд — В данной системе отсчета вектор ускорения равен нулю, т. е. этой метрикой описывается свободный гравиинерциальный волновой процесс (конгруэнция мировых линий системы отсчета является геодезической).
Интересным примером волновой метрики подтипа N является решение Переса [155]:
ds2 = dxl — dx\ — 2ф (dx0 + dx±)2 — dx\ — dx\,
(9.35)
где функция ф(х°, X19 X2t X3) удовлетворяет соотношению Ф,2,2 + + ф,3,3 = 0. Для этой метрики в кинеорометрической системе отсчета имеем:
х»=(У1 + 2<р :--^,0:0);
Ф.1
F =
(1 + 2ф)?/2
' г ч-
; D =
Ч\
(1 4- 2ф) 3^2
[Фі0(1 +2ф)-2фл(1 + ф)];
1 + 2,P
; As = 0; Dlri = d?T) = 0.
(9.36)
180 Вектором Дебеве служит kn = ~l/l + 2ф (тд — /д).
Условия (9.26), налагаемые на волновой вектор, выполняются. Поперечно-поперечные компоненты тензора Римана — Кристоффеля X^ . ф,^ті/(1 + 2ф) могут удовлетворять референционному волновому критерию. Это определяется зависимостью ф ОТ X0 И Xі. Если тензор X^n не является ни стационарным, ни пространственно-однородным, то эта метрика в данной системе отсчета описывает общий несвободный гравиинерциальный волновой процесс. Распространение волны продольной деформации D связано с продольным (F) и поперечным F^ ускорениями выбранной системы отсчета. Своеобразие этого случая заключается в постоянстве поперечно-поперечных компонент метрики, т. е. ^const.
Функция ф может оказаться такой, что тензор X^ не удовлетворяет референционному волновому критерию (например, когда ф не зависит от jc0) . Тогда метрику Переса следует рассматривать как пример метрики подтипа N, не являющейся волновой. Это аналогично ситуации в электродинамике, когда скрещенные статические однородные электрическое и магнитное поля характеризуются равными нулю инвариантами. Интересная интерпретация частного случая именно такого решения Переса предложена в работе [156]. Она состоит в том, что метрику можно понимать как описывающую искривление пространства-времени, вызванное световой нитью (лучом лазера) вдоль оси х1.
Волновая метрика, не удовлетворяющая ни одному алгебраическому критерию. Примером такой метрики являются цилиндрические волны Эйнштейна — Розе-на [157], принадлежащие подтипу / по классификации Петрова. Эту метрику можно записать в виде
