Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
внизу) _
% = —k (-j/o/2 -2r0), (9.58)
где ol2 = —hik8xioxk — квадрат длины пружины (8х{ — разность координат ее концов).
Качественный анализ процесса. Для данного процесса можно указать три пары характерных мировых линий (рис. 20). Тонкие непрерывные^ линии соответствуют мировым линиям масс в отсутствие пружщш (геодезические). Пунктирные линии изображают негеодезическйе. мировые линии равновесия пружины. Расстояние между ними всегда равно 2 г0. Жирными линиями показаны истинные мировые линии масс, связанных пружиной. В данной задаче имеются два положения равновесия: ненапряженное положение пружины и геодезические. Отклонения масс от них характеризуются соответственно величинами g и
Рассмотрим поведение масс относительно трех систем отсчета, конгруэнциям которых принадлежит три пары указанных мировых ,линий. При этом ограничимся рассмотрением одной лишь правой частицы. Кроме того, предположим, что до прихода гравитационной волны частицы покоились и пружина была в ненапряженном состоянии. Тогда скорости, приобретаемые массами, и смещения будут иметь порядок амплитуды падающей волны.
а) Синхронная система отсчета (Aik = Of Fi = 0). Конгруэнции этой системы отсчета принадлежат тонкие и центральная штрихі пунктирная линии. Очевидно, что система координат, в которой записана метрика (9.56), является хронометрической для синхронной системы отсчета. Координата правой массы равна бJt2 = T0+ ?.
Рис. 20. Поведение осциллятора из двух связанных пружиной масс в метрике слабой плоской гравитационной волны
187: Пренебрежем величинами L1sk psvh и 2PhD1k (третьего и второго порядков). Уравнение (9.57) тогда приобретет вид:
m0d%/dt2 = Ф2. (9.57а)
Из-за малости скоростей здесь и в дальнейшем пренебрегаем членами порядка (v/c)2. Компонента Фг силы напряжения пружины запишется следующим образом:
Ф2 = - 2k (/hj^l - r0) = - 26(1/(1+а )(г0 + Е)»-г0 ) ж
« —2й[(а/2)г0 + а. (9.58а)
Подставляя Ф2 в (9.57а) и вводя диссипативную силу, получаем:
d% , 2k ^ . % dl k /п сп V
¦ H--? H---;г =--осг0. (9.59а)
dt2 т0 т0 dt т0
Это уравнение отличается от веберовского [157] [см. также (9.59в) ниже] тем, что справа в качестве коэффициента стоит &/т0, а не половина квадрата частоты падающего излучения.
Если возле массы осциллятора (или торца цилиндра Вебера) повесить покоящуюся до прихода волны пробную массу на длинной нити (или поместить рядом на борту спутника), то ? будет определять относительное смещение пробной и связанной масс (или массы и торца цилиндра Вебера).
б) Сопутствующая массам система отсчета. Координаты рассматриваемых масс в этой системе отсчета неизменны. Тогда vi = = Pi = О, а уравнения (9.57) существенно упрощаются:
-HiF2 = O2 (9.576)
и имеют смысл равенства силы инерции силе напряжения пружины. Рассматриваемому случаю соответствует хронометрическая система координат, получающаяся из исходной (9.56) преобразованиями jc,0 = jc°; jcrl=jc1; jc,2 = jc2[1+i](jc0)]; jc,3 = jc3, где ti(X0)Cl и имеет порядок амплитуды падающей волны. В этой системе координат с точностью до величин первого порядка имеем: goo =1;
go2 ~ х2ї]; g22 ~ — (1 + ос — 2х\) = — /і22. Здесь и далее точка означает дифференцирование по времени выбранной системы отсчета. Подставляя последние соотношения в выражение для ускорения системы отсчета (3.78), получаем в точке нахождения массы F2 =
= go2,o = for{- Силу напряжения пружины находим в виде
Ф2 = —2k(VH22^x22 —r0) = — 2kr0(Vl +а — 2ц— l)«
ж — 2kr^ (а/2 — г}). (9.586)
Подставляя два последних выражения в (9.576), записываем уравнение колебаний:
-^r М) + — М) + — 4" (Г«Ч) = — V. (9.596)
dt2 mQ m0 dt m0
188: Здесь опять введена диссипативная сила. Это уравнение совпадает* с (9.59а), если ? = —Avn•
В эксперименте Вебера [162], где сигнал снимали с пьезодат-чиков, жестко связанных с цилиндром, наблюдаемой, по-видимому, является величина F2 = T0т]. Однако тогда вынуждающая сила отличается от теоретически полученной Веберам.
в) Система отсчета ненапряженной пружины. Пусть ее конгруэнции принадлежат пунктирные линии и средняя мировая линия (на рисунке штрихпунктирная). Остальные линии определяются из условия HUuXfiXfh = const. В хронометрической системе координат этой системы отсчета пространственные координаты хп мировых линий постоянны. Учитывая указанные условия, находим преобразования исходной системы координат, в которой записана метрика (9.56), в хронометрическую систему координат данной системы отсчета: Xfi = Xui —а/2); х'Ч=х3. Искомая метрика имеет вид:
ds2 = dx о — x2adx0dx2 — dx\ — dx 2 — X2 (да Zdx1) dx1dx2 — (1 + a) dx?, •
2 — х2аих0их2 — ах\ — их2 — X2 yua/ux^ Ux1Ux2 — а) і
(9.56в)
Координаты массы Sx2 = To + где I— малая величина порядка а. Сила напряжения пружины равна:
Ф2 = -2к (V-g22(r0+l)2 - г0) « - 2kl. (9.58в>
Оставляя в (9.57) только величины первого порядка, получаем:.
m0l - M0F2 — 2kl. (9.57в).
Учитывая, что в данной системе отсчета T2=SWVgoo =—х2а/2; F2~ — (х2/2)а, и вводя диссипативную силу, находим уравнение колебаний
