Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения Дебеве для подтипа I Петрова имеют вид:
Ul9R^mv k^ = (9.17)
где k— изотропный вектор Дебеве; [...] — символ антисимметризации. Используя диадные проекции этих уравнений, находим соотношение, связывающее поперечно-поперечные компоненты матриц X и Y:
- Xoh + Z0I ± (УCK + По) = 0. (9.17а)
Уравнения Дебеве для подтипов II и D.
[Rafiliv h- Ram kv) = 0 (9.18)
приводят к соотношениям:
- XG?V + ZoK ± (YoK + Yka) = 0; Fg ± Xg = 0. (9.18а)
Отсюда следует, что продольно-поперечные компоненты Xg и Yg матриц X и Y по модулю равны друг другу, а поперечно-поперечные компоненты связаны, как и в (9.17а).
Уравнения Дебеве для подтипа III
& (Rafivv h — RafiiXK kv) = 0 (9.19)
означают, что
Xa ± Fg = 0; Fpg^ + Zpg, = 0; (9.19а)
^a ± Па - 0; YoK ± ZOi = 0. (9.196)
176: Соотношения (9.19а) означают равенство друг другу продольно-поперечных компонент матриц Xj Y и Z, а (9.196) означают равенство поперечно-поперечных компонент матриц Xw Y (Y и Z). Учитывая соотношения (9.16), в частности равенство нулю следа Yy находим, что продольная компоненти X = 0 и Za^ixv ~ 0.
Уравнения Дебеве для подтипа N
kaRa^ = о (9.20 У
означают, что все продольные и продольно-поперечные компоненты тензора Римана — Кристоффеля равны нулю, а поперечно-поперечные компоненты матриц X и Y одинаковы. Это полностью соответствует свойствам электромагнитной волны. Можно сказать, что гравиинерциальный процесс определяется одним тензором X0K, причем его след Xiayoh =rO.
Классификация гравиинерциальных волновых процессов по диадным физико-геометрическим тензорам и оптическим инвариантам. В общем случае имеется 11 диадных физико-геометрических тензоров (7.4) — (7.14), однако для ряда конкретных процессов число таких независимых величин существенно уменьшается. Рассмотрим: некоторые из них в порядке сужения множеств метрик.
1. Для волнового гравиинерциального процесса естественно ожидать, что вектор удовлетворяет условию геодезичности (7.43). Оно соответствует соотношениям (7.44) и (7.45) между диадными физико-геометрическими тензорами. Как уже отмечалось, волновой процесс можно охарактеризовать тремя оптическими скалярами, которые при учете (7.43) принимают вид (7.46) — (7.48).
2. Пусть волновой процесс рассматривается в нормальной системе отсчета и оптический инвариант поворота равен нулю (Q2 = =0); тогда такую ситуацию удобно описывать кинеорометрической калибровкой диады. В этой калибровке Aliv = 0; aliv == 0
Й2 == 0; Q1l1 ее= 0. В рассматриваемом случае в пространственном сечении нормальной системы отсчета определен 2-мерный волновой фронт, ортогональный k^ и характеризуемый метрическим тензором Ygrr Все величины можно обозначить индексами ц, ф...=2, 3. Условия (7.44), (7.45), наложенные на восемь диадных физико-геометрических тензоров, упрощаются из-за того, что
Монадную классификацию гравиинерциальных волновых процессов, описанных в § 9.3, теперь можно детализировать. Будем называть волновой гравиинерциальный процесс [150]: продольно-несвободным, если Fi = 0; РфО; поперечно-несвободным, если F^ =т^0; I' = 0; общим несвободным, если Fi Ф0; РфО] свободным, если I7I = 0; F = 0.
3. Сферическими гравиинерциальными волнами согласно опре-
12 T делению Робинсона и Траутмана [151] называют волны, удовлетворяющие условиям:
є = (1/2) ^ 0; I (Q21)
O2 = O; ka.fi — = 0 —>¦ Q2 = 0.1
В диадном виде эти условия означают:
D ± d ф 0;
D T F + (I/o2) (o),v kv) = 0; Fvl + U + 2 (Qn + qn) = 0; Av ± %v = Рч — /n+ 2(?-?) + (2/co) to,V Ya = 0;
Aw ± <U (Djiv ± <T) = (1/2) (D ± d)2.
Сферические гравиинерциальные волны допускаются пространствами только подтипов II и D по классификации Петрова.
4. Плоские гравиинерциальные волны согласно определению Кундта [152] соответствуют обращению в нуль всех трех оптических скаляров:
е = 0; Q2 - 0; а2 - 0. (9.23)
;Это означает, что выполняются условия (9.226), а вместо (9.22а) ,должно быть
D ± d = 0. (9.24)
Из теоремы Шевретона следует, что плоские волны допускаются только пространствами подтипов III и N.
5. Гравиинерциальные волны подтипа N имеют ковариантно-постоянный волновой вектор
= 0. (9.25)
Справедливо и обратное утверждение, т. е. если пространство-время допускает векторное поле со свойством (9.25), то оно принадлежит подтипу N по Петрову, причем изотропно и единственно. Соответствующие этому подтипу уравнения Дебеве (9.20) являются условиями интегрируемости (9.25). В диадном виде (9.25) •означает, что
F + cotvTv/co = 0; CJa + Aa-Qa + (co,v/co) Ya = 0;]
S ± со,V /> = 0; Fa + faT2(qa + Qa) = 0; (9.26)
Da? ± da? + ^a? ± fla? = 0; Fa — fa ± 2Aa = 0. )
9.5. ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ ВОЛНОВЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ЭЙНШТЕЙНА
Рассмотрим несколько точных решений уравнений Эйнштейна, которые удовлетворяют тем или иным критериям гравитационных волн.
(9.22а) (9.226)
,178 Волновые метрики подтипа ЛГ. Метрика Такено [153]' чаще всего приводится в виде
ds2 = (Р+ S) dx о — ZSdxvdx1 —(P — S) dx\ — Bdxl-Adxl
(9.27). Эйн-
