Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
В рассмотренном приближении плоскому свободному грави-инерциальному волновому процессу соответствует метрика
ds2 = dx20 — dx2 — (1 + a) dx\ — (1 — а) dx\ — 2 $dx2dx3. (9.52)
Легко показать, что волновой вектор k? = тц ±1^ в данной калибровке и рассматриваемом приближении удовлетворяет условиям (9.26) (является ковариантно-постоянным), т. е. можно сказать, что метрика (9.52) принадлежит подтипу N по классификации Петрова и, следовательно, удовлетворяет алгебраическому критерию гравитационных волн Лихнеровича [159].
Отличные от нуля компоненты тензора Римана — Кристоффеля Xin = — Yiл = O7Din = '0/2) 02уіп/0х20 удовлетворяют референционному волновому критерию гравиинерциальных волн, если функции а и ? нетривиально удовлетворяют волновым уравнениям (9.49а).
Особо следует подчеркнуть, что рассмотренный свободный волновой процесс не исчерпывает все возможности. Слабым плоским гравиинерциальным волнам соответствует еще множество несвободных волновых процессов.
9.7. ПОВЕДЕНИЕ ПРИБОРОВ В СЛАБОЙ ПЛОСКОЙ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНОЙ ВОЛНЕ
Поведение систем из свободных пробных масс. Пусть пробные массы таковы, что можно выбрать сопутствующую им синхронную систему отсчета, и, кроме того, пусть ^ и направление распространения волны находятся кинеорометрической (хро-ноорометрической) калибровкой из метрики (9.52), в которой
a = A sin [(со/с) (х° — X1)]; ? = В sin [(со/с) (х° — х1) + <р]; (9.53)
6 Зак. 1152^<1; ?< і. Тогда тд и t имеют вид (9.50), т. е. волна распространяется вдоль оси Xі.
Возьмем точки-приборы, которые до прихода волны (при A = = Oy B = 0) находились на одном расстоянии &а0 от какой-то выделенной точки О. Эти точки лежат на сфере радиуса ба0:
6х\ + 6x1 + 6x1 = 6 а?.
Когда волновой процесс достигает системы, расстояние от точки до другой близкой точки определяется по формуле
6а - /"6х2{+6X22 + 6x1+ а (6x1 - 6*з) + Щх26х3 . (9.54)
Характерно, что по определению данной калибровки пространственные координаты каждой точки-прибора неизменны, приборы «вморожены» в координатную сетку.
Рассмотрим отдельно поведение свободных пробных масс для процессов двух типов [160]. а) Пусть афОу ? = 0. Тогда
бо = 6х? + 6x1 + 6*3 + а (6x1 - бЛ)". (9.54а)
В координатном пространстве поверхность 6а = 6ао = Const является эллипсоидом:
6х2/6о20 + 6x1(1 + а)/6о0 + 6x1(1 — а)/6о20 = 1
с полуосями 6а0, 6а0/~1/1 + ос, 6с0/У1— а. В сечении 6;сі = 0 получим эллипс. В координатах плоской 2-мерной поверхности (х2у JC3) на рис. 17 изображены точки, попадающие на эллипс:
6х\ (1 + a)/6ot + бхі (1 — а)/бо2 = 1 (9.55а)
(р=0 (р=й? (P=jrt
Рис. 17. Поведение свободных пробных частиц в метрике слабой плоской гравитационной волны ((Z=TfcO; ? = 0)
б течение периода волны. Примечательно, что есть два направления 6X2=±OXSy вдоль которых расстояния не меняются, б) Пусть а = 0, ?^0. Тогда
6а = 6xi + 6*2 + 6x1 + 2?6*26x3. (9.546)
185:Опять поверхность ба = Sao = const образует эллипсоид. Сечение эллипсоида Sxi = O представляет собой эллипс
Sx2/Sao + бхз/Sao + 2?Sx2Sx3/Sao = 1,
который поворотом координат на угол a = 45° можно привести к канонической форме
Sу\ (1 + ?)/Sao + Sу\ (1 - ?)/Sa20 = 1. (9.55 б)
За период волны на этот эллипс попадают точки, изображенные на рис. 18. Опять имеются два направления 6^/2= =t 6f/3 (по старым осям X2 и X3), вдоль которых расстояния не меняются.
Рис. 18. Поведение свободных пробных частиц в метрике слабой плоской гравитационной волны (a = 0; ?^O)
Таким образом, две поляризации плоской свободной гравиинер-циалъной волны соответствуют периодическим растяжениям и сжатиям 2-мерной поверхности одинаковой фазы вдоль пар взаимно перпендикулярных направлений, повернутых относительно
друг друга на 45°. Направления максимальных удлинений (сокращений) для одной поляризации соответствуют несме-щающимся точкам в другой поляризации и наоборот. Эта отмечено на рисунках.
Поведение осциллятора в слабой плоской гравиинерци-альной волне [161]. Рассмотрим несвободные пробные частицы, моделирующие в упрощенном виде детекторы гравитационного излучения.
Постановка задачи. Пусть на линейный осциллятор, который состоит из двух одинаковых частиц массой т0, соединенных пружиной жесткости k и длиной 2 г0 в ненапряженном состоянии и ориентированных вдоль направления х2 (рис. 19), падает вдоль Xх плоско поляризованная во;,на, описываемая метрикой
XjI І у
f^u Q оопа
W0 VC т0 А
х/
Рис. 19. Осциллятор из двух связанных пружиной масс
186:ds2 - dxl — dx 1 — (1 + a) dxl—(l — oc)dxIf (9.56)
тде a = A sin[(co/c) (x°—x1)]; A<Cl. Здесь одна поляризация оставлена для простоты. Систему отсчета будем задавать хронометрическим способом. Пространственные уравнения мировых линий масс записываются в данной калибровке следующим образом:
dpvdx - Liskpsvk + mFl + 2pk (Aik - Dik) + Ф\ (9.57)
где Qi — компоненты негравитационных сил, т. е. силы напряжения пружины Фг и диссипативной силы. Нам понадобится только компонента уравнения вдоль х2.
Сила напряжения пружины (вдоль х2) Ф2 пропорциональна ее жесткости и абсолютному удлинению (индексы будем писать