Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что сказанное не относится к закону сохранения заряда или Pa , удовлетворяющему (8.6), так как в этих случаях интегрируется плотность скалярной величины. Например, в (8.5) интегрируется /?, где Tm, — временно-подобный вектор, перпендикулярный элементу пространственно-подобной гиперповерхности.
Понятия энергии и импульса являются важнейшими понятиями физики и привлекательны вследствие существования законов их сохранения. Отсутствие законов сохранения энергии и импульса представляется многим физикам неудовлетворительным свойством ОТО. Однако не следует преувеличивать значимость этого факта. Чаще всего при решении конкретных задач и проблем речь идет лишь о желании следовать традиционным понятиям и способам рассуждений. ОТО основана на уравнениях Эйнштейна, с помощью которых и заданной системы отсчета в принципе можно найти, решение любой корректно поставленной в рамках ОТО задачи, не обращаясь к законам сохранения.
Из всего сказанного следует, что к проблеме энергии-импульса допустимо относиться по-разному [129].
1. Можно игнорировать вопросы сохранения энергии и импульса, решать уравнения Эйнштейна и движения для конкретных классических задач. Окончательные результаты всегда можно проинтерпретировать в нужной системе отсчета, однозначно введя при этом энергию и импульс материи относительно используемой системы отсчета.
157:2. Разумно анализировать такие случаи, когда в рамках ОТО можно говорить о законах сохранения энергии или импульса, например когда пространство-время обладает соответствующими :векторами Киллинга.
3. Можно попытаться с помощью уравнений поля и каких-либо дополнительных соображений вводить в теорию законы сохранения .неких величин — типа энергии или импульса (одной или множества), анализировать эти величины и решать, насколько их использование целесообразно и насколько они соответствуют привычным в плоском мире понятиям энергии и импульса. Однако не следует забывать, что все введенные таким образом понятия являются инородными конструкциями в ОТО. К этому подходу относятся попытки определения псевдотензора, вектора или иных комплексов энергии-импульса гравитационного поля. Как будет показано в следующих параграфах, здесь существенны вопросы единственности и физической значимости вводимых величин.
8.2. ПСЕВДОТЕНЗОРЫ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО
ПОЛЯ
Если придерживаться взгляда, что необходимо ввести в ОТО аналог закона сохранения энергии-импульса, то можно воспользоваться следующим соображением [8, 130]. Вспомним, что в ньютоновой механике в общем случае не сохраняется кинетическая энергия T механической системы. Однако закон сохранения удается «спасти», введя потенциальную энергию U силового поля так, что
{d/dt) (Т + V) = 0. (8.7)
Эйнштейн и другие предложили аналогичный метод в искривленном пространстве-времени: следует требовать сохранения энергии и импульса Pix материи вместе с дополнительным членом Pm-, понимаемым как энергия-импульс гравитационного поля. Тогда вместо (8.3) следует писать:
дГ liyIdxv - (d/dxv) (7^ + Г) = 0, (8.8)
где нетензорный добавок ^v называют псевдотензором энергии-импульса гравитационного поля. Очевидно, что ^v не может быть тензором, так как действие нетензорного оператора d/dxv на тензорную величину не дает тензора.
Разберемся, что означает величина Iliv Для этого запишем уравнения Эйнштейна в виде
[/Г-(1/2)^1 = (-SfTliv,
где N — целое или полуцелое число, и разобьем левую часть на два слагаемых:
і 58[(- gffr] [FT - (IWtfwR) = - (- g)N (8.9)
Соотношение вида (8.8) выполняется, если ©^ имеет вид:
Qliv = (д/дхк)Н^\ (8.10)
где Hiivk =—Zzmav— так называемый суперпотенциал гравитационного поля. Тогда очевидно, что
(d/dxv) (дН^/дхк) = (d/dxv) [(- gf (7*v + Г)] = 0, (8.11)«
т. е. формально получена нужная форма закона сохранения энергии-импульса.
Все было бы хорошо, если бы разбиение (8.9) было однозначным при условии (8.10). Но, оказывается, его можно произвести многими способами. Различные авторы, предлагавшие разные псевдотензоры ^v, использовали разные разбиения, основанные на соответствующих дополнительных соображениях. В качестве примеров укажем несколько наиболее распространенных видов ^v.
Псевдотензор Эйнштейна [17, с. 488] выводится на основе указанной Эйнштейном возможности сведения «лишнего» члена в соотношении V—g Tl, O= 0 к обычной дивергенции. Он имеет вид:
?= и-я)(яауа-лт)]). (8.12).
VzzI* дх1 I У—g дха J
Этому псевдотензору соответствует суперпотенциал
(8.13)
2х У— g дха
а закон сохранения записывается следующим образом (N= 1/2):
{д/дх1) {y—^Tl+y—g tl) = 0. (8.14),
Псевдотензор Ландау и Лифшица [9, с. 358] получаем так. В произвольной точке в локально-геодезической системе координат левую часть уравнений Эйнштейна можно представить в виде
T (*" - T ) = P5 ^ Ыг -?-[<- й
]| ^_Q^v _ 1 д ^lXvl /g J^v
/ / ^Jk ' V • /
Видно, что Hlivl антисимметрично по индексам v и X. Авторы данного подхода считают локально-геодезическую систему координат привилегированной в том смысле, что в ней псевдотензор ^v = 0. В другой системе координат соотношение (8.15) в общем случае не выполняется, к нему справа следует добавить некоторое выражение, зависящее от первых производных от g?V. Это выра-