Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
9.2. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН
Естествен вопрос: можно ли в самом общем виде сформулировать признак или критерий, который позволял бы выделять из решений уравнений Эйнштейна волновые метрики? Широко распространено мнение, что такой критерий должен существовать [144]. В литературе отражены довольно многочисленные попытки найти этот критерий с помощью алгебраической классификации Петрова пространств Эйнштейна (см. § 2.2). В свое время это было очень заманчиво, так как с открытием алгебраической классификации сразу же встал вопрос о физическом смысле пространств различных типов и подтипов.
Сопоставление алгебраической классификации пространств Эйнштейна с аналогичной классификацией электромагнитных полей в какой-то степени обосновывает это направление поиска. Действительно, характеристическое уравнение для тензора электромагнитного поля FvIV (в плоском пространстве-времени) имеет вид:
HzrHV-^lVjI = O. (9.1)
169: Непосредственное вычисление определителя приводит к уравнению A4 + (H2 — E2) X2 — (EkHk)2 = Of (9.1а)
где коэффициентами являются инварианты электромагнитного поля Vfiv == 2 (H2 — E2) = 2^; /VvZ^v - EkHk = ^2. С помощью элементарных преобразований (см. § 2.2) характеристическую 4X ,Х4-матрицу для (9.1) можно привести к двум возможным каноническим матрицам [145]:
/10 0 0 4/100 0
/010 0 J./010 0
001 о Nooa о \0 0 0 X^f1X2- ft J \ ООО Х(Х2+^)
соответствующим $2ф0 и f2 = 0. Первая из этих матриц соответствует наличию четырех различных корней, определяемых лишь из одного инвариантного множителя канонической матрицы, т. е. имеет характеристику [(1) (1) (1) (1)]. Назовем электромагнитные поля с характеристиками [1111] полями первого типа Tb а их частный случай [(1) (1) (1) (1)] — подтипом / типа Tx (по аналогии с названиями типов и подтипов пространств Эйнштейна в § 2.2) .
Вторая из канонических матриц (9.2) соответствует корням: A1 = A2 = 0; A3 = + Vflf A4 - -VfT при ^1 ф 0 и X1 =X2 = X3 = = A4 = 0 при = 0. Эти две возможности описываются характеристиками: [(1,1) (1) (1)] и [(1, 3)] соответственно. Первую из них, принадлежащую к типу Tb назовем подтипом D (к нему принадлежит закон Кулона), а вторую назовем типом T2 (или N).
Таким образом, электромагнитные поля могут быть только двух типов
/ I [(W)W(J)J (Ji и J2^ причем первый из них
разбивается на два подтипа: / и D. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы, аналогичной диаграмме ФМ — H[МШ] Пенроуза (рис. 16). Подтипы элек-
* тромагнитных полей D и N естествен-—) ~ но назвать алгебраически специаль-
ными. Известно, что для чистого элек-Рис. 16. Алгебраическая клас- тромагнитного излучения ^1= f2 =0, сификация электромагнитных Т. Є. электромагнитные ВОЛНЫ ПрИ-полей надлежат к алгебраически специаль-
ному типу N (T2). Алгебраическая классификация пространств Эйнштейна значительно сложнее. Тем не менее заманчиво связать метрики алгебраически специальных подтипов с гравитационными волнами. Подтип D сразу же отпадает — к нему принадлежит, в частности, статическая метрика Шварцшильда. Остаются метрики типов T2 и T3 по Петрову. Чтобы остановиться на каком-то варианте, необходимы дополнительные соображения. Разные авторы, сопостав-
(9.2) ляя различные стороны электродинамики и ОТО, предлагали ряд Критериев гравитационных волн. В настоящее время их более 10. Некоторые из них эквивалентны, отличаются лишь терминологией. Интересно отметить, что подавляющая часть критериев имеет общую область пересечения. Следуя работе [144], перечислим наиболее распространенные критерии в порядке сужения множества пространств, удовлетворяющих им.
1а. Согласно критерию Пирани [146] в вакууме волновыми являются все метрики, принадлежащие подтипам IIf N или III.
16. Критерию Пирани эквивалентен первый критерий Веля, который связан с монадным методом. В окрестности произвольной точки пустого пространства-времени существуют гравитационные волны, если для любого единичного временно-подобного вектора Tix в этой точке вектор потока суперэнергии отличен от нуля:
Pa -Ha44TllT0^ =^= Ot (9.3)
где T0^li — тензор суперэнергии Беля, определенный формулой (8.46). Если Pa = Ot то гравитационные волны в окрестности данной точки отсутствуют.
2а. Все пространства, принадлежащие гравитационным полям подтипов N и IIIf и только они, удовлетворяют второму критерию Беля. Его можно сформулировать следующим образом. Пустое пространство-время с тензором Римана — Кристоффеля, отличным от нуля, описывает свободные гравитационные волны, если обращаются в нуль все четыре фундаментальных скаляра:
= 0; /??^;% = 0; .
Dl\x рро __ pa? р^Д nPG л — П A. .IiiK. .р од. .a? — и, A. AjLiA . .pa А . .a? — U.
В противном случае свободные гравитационные волны отсутствуют [144, с. 75]).
26. Дебеве показал, что второй критерий Беля можно сформулировать иначе. Соотношения (9.4) эквивалентны существованию изотропного вектора удовлетворяющего уравнениям:
Rafiwka k* = 0; Rapliv ka k» = 0. (9.5)
2в. Второму критерию Беля эквивалентен также критерий Миз-ры и Сингха. Пустое пространство-время с отличным от нуля тензором Римана — Кристоффеля описывает гравитационные волны
