Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
159: •жение считают псевдотензором ^v. Следовательно, суперпотенциал Ландау — Лифшица
/Г* = (1/2 х) (д/дх*) [(- g) - Г еП] (8.1 б)
отличается от суперпотенциала Эйнштейна. Ему соответствует симметричный псевдотензор энергии-импульса
^v = [l/2y.(-g)](dWdx') (8.17)
Закон сохранения имеет вид (N = 1):
(a/a*v) [(— g) + ^v)] = о. (8.18)
Псевдотензор Меллера — Мицкевича—Шредингера [131] выводят с помощью теоремы Нёттер при определенном выборе плотности лагранжиана гравитационного поля. Он несимметричен:
tz = -I=-Jr [/=7(ft*.a-gm,,)gxVal (8.19)
Псевдотензору соответствует суперпотенциал
h,/': = (V^J?y.) (сЫдх*) (gvYa - gvY'P'). (8.20)
Закон сохранения записывается так же, как и в подходе Эйнштейна (8.14). •
Псевдотензор Папапетру [132]
Г = —J=- (V=TfTla*** -f (V-g ЛаДЄ^-2х у — g L
- - (K=Fgve)te.^] , (8.21)
где — метрический тензор пространства-времени Минковско-го. Суперпотенциал можно найти из (8.10) и (8.21).
Перечисление различных псевдотензоров энергии-импульса гравитационного поля можно было бы продолжить. В частности, можно получить счетное множество симметричных псевдотензоров, эйнштейновского типа, используя в качестве суперпотенцпалов выражения вида [133]:
h*.={\!2K){dIdf)[(-g)N(g^-&g™)], (8.22)
где N— любое целое или полуцелое число.
Факт существования множества различных псевдотензоров энергии-импульса гравитационного поля представляется крайне неудовлетворительным. Огромные усилия многочисленных исследователей были затрачены на выделение единственного преимущественного псевдотензора. Однако все предложенные до сих пор варианты неприемлемы в каких-либо отношениях. Это не удиви-тельно, так как псевдотензоры не являются тензорными величинами: соответствующим выбором системы координат можно получать на основе псевдотензоров самые нелепые результаты [134,
6 Зак. 1152 135]. В [136] были сформулированы пять критериев Мёллера, которым должен удовлетворять искомый псевдотензор. Там же было показано, что из компонент метрического тензора и их производных невозможно построить искомую величину.
Автору представляется разумным вывод: следует отказаться от допущения, что в ОТО существует единственное выражение для энергии-импульса гравитационного поля. Такое понятие не заложено в принципах, на которых основана ОТО! Нужно смириться с возможностью определения множества комплексов, которые лишь в каком-то смысле соответствуют в ОТО привычным понятиям энергии и импульса. Можно ставить вопросы о целесообразности использования тех или иных из них в конкретных ситуациях и задачах.
Псевдотензорный подход обладает еще тем недостатком, что в его рамках затруднена физическая интерпретация получаемых величин. Последнее можно сделать лишь при использовании понятий систем отсчета. Этот вопрос рассмотрен в следующих параграфах.
8.3. МОНАДНЫЕ ВЕКТОРЫ ЭНЕРГИИ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНОГО
ПОЛЯ
Монадный метод задания движения системы отсчета позволяет в каждой точке сопоставлять плотности тензора энергии-импульса материи плотность энергии и плотность модуля полного импульса материи. Без использования монадного (тетрадного или иного) метода решение этой задачи затруднительно. Действительно, пуст^ известны компоненты тензора энергии-импульса материи T^v. Чему равны плотности энергии и импульса? Если действовать, как в СТО, то в каждой системе координат на значение плотности энергии будут претендовать величины Г00, T00 и Tо, а на значение плотности импульса — компоненты T0i9 Toit Tt^ T0i. Какую взять систему координат и какие выбрать в ней компоненты?
В монадном методе эта задача в произвольной системе координат решается следующим образом: плотность энергии материи в системе отсчета с 4-вектором скорости Tm" равна р = TlivTllTv. Это скаляр. Плотность импульса определяется в виде Pa = = -Zi^TvTtiv. Модуль импульса равен P = j/~ —ha$PaP[\
Монадный метод позволяет также определить для каждого пространственно-подобного сечения суммарное значение энергии материи, так как определенная выше плотность энергии является скаляром, а перенос скаляра не зависит от пути. Если система отсчета нормальная, то имеется семейство пространственно-подобных гиперповерхностей, ортогональных ее конгруэнции т. Для любой такой гиперповерхности
E = J VizI Tixv^dall = j V=7 P^doix. (8.23)
6 Зак. 1152 В общем случае полная энергия материи, опредленная согласно (8.23), не сохраняется. Попробуем «спасти» закон сохранения так же, как в псевдотензорном подходе, добавив к энергии материц некоторое выражение. Теперь следует использовать четыре (а не как в § 8.2) уравнения Эйнштейна
(tv/И) [^v- (1/2)^v/?] - T?vTv =E= P^ (8.24)
где Pyi— 4-вектор энергии-импульса материи. Разобьем левую часть этих уравнений на два векторных слагаемых
(Wx) [/Г - (1/2) ^R] = Qli- р* (8.25)
где
Q11 = Sr-V- (8.26)
Здесь тензор f?V играет роль суперпотенциала в псевдотензорном подходе; он антисимметричен: f?v = — Вследствие соотношения VinVvf^v =0 имеем закон сохранения
V^ = Vn (Р,Х + Pli) = (1/V—Ї) (OIdxix) [V=J (Pix + Ptl)] = 0, (8.27)
