Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Xvlv и Za??v оказываются связанными друг с другом Xjliv + Zajuav = = 0, так что достаточно говорить лишь о волнах двух типов: X и Y.
Важной задачей референционного подхода является выяснение условий существования гравиинерциальных волн в зависимости от значений и свойств физико-геометрических тензоров. В частности, можно сделать некоторые выводы об отсутствии волнового характера метрики в зависимости от обращения в нуль этих тензоров в отдельности или совместно в различных комбинациях. Возможны восемь таких случаев:
1. Fvl = 0; Dliv = 0; Aliv = 0
2. Fix ф 0; Dixv = 0; Alxv = 0
3. Fli ф 0; Dixv ф 0; Allv = 0
4. Fli = 0; Dliv Ф 0; Aliv - 0
5. Fli= 0; Dliv = 0; A»v ф 0;
6. Fli ф 0; Dliv = 0; Avlv ф0;
7. Fli ф 0; Dliv Ф 0; Aixv Ф 0;
8. Fix= 0; Djiv Ф 0; Avlv ф 0.
Учитывая формулы (3.40), (3.41), выражающие X^ и Yavo через монадные физико-геометрические тензоры, приходим к выводу, что случай 1 тривиален. Случай 2 соответствует обращению в нуль Yvivo и стационарности Xixv в вакууме. В последнем легко убедиться на основе вида Zjuva^ согласно (3.39) и соотношения Rvlv =0. Таким образом, в случае 2 волны отсутствуют. В случае 5 анализ в хронометрических системах координат (что не нарушает общности рассмотрения) показывает, что метрика стационарна, а значит, І и У также стационарны, т. е. волны существовать не могут. Во всех остальных случаях гравиинерциальные волны обоих типов возможны. Отметим, что имеются более тонкие условия [144, 148] отсутствия гравиинерциальных волн в зависимости от обращения в нуль производных от физико-геометрических тензоров (в зависимости от их стационарности или однородности).
Число возможностей существенно сокращается, если ограничиться рассмотрением нормальных систем отсчета (^jliv = 0) „ Как уже отмечалось, они наиболее адекватно описываются с помощью кинеметрической калибровки монадного метода. В таких системах отсчета гравиинерциальным волнам могут соответствовать лишь случаи 3 и 4. Видно, что в них необходимым условием является отличие от нуля тензора скоростей деформаций. Тогда напрашивается простая классификация гравиинерциальных волновых процессов в нормальных системах отсчета в зависимости от вектора Fvl :
174: 1) будем говорить о несвободном гравиинерциальном волновом процессе, когда выполнен референционный волновой критерий И^О;
2) свободный гравиинерциальный волновой процесс соответствует случаю,'когда выполнен референционный волновой критерий и F =0.
9.4. ДИАДНОЕ ОПИСАНИЕ ГРАВИИНЕРЦИАЛЬНЫХ ВОЛН
Общие замечания. В гл. 7 было показано, что для описания волновых процессов целесообразно использовать диадный метод. Это в полной мере относится и к обсуждаемым здесь грави-инерциальным волнам. Действительно, как угодно определенный гравиинерциальный волновой процесс должен характеризоваться изотропным волновым вектором который можно представить в виде == со (тд + где тд— 4-скорость используемой
системы отсчета; + — пространственно-подобное направление распространения процесса.
Диадный метод позволяет более детально описывать грави-инерциальные волны, нежели монадный, в частности с его помощью можно выделить продольные, продольно-поперечные и по-перечно-поперечные составляющие тензора Римана — Кристоффеля и физико-геометрических тензоров. Так, используя диадное расщепление метрического тензора (7.1), разделим 20 компонент тензора Римана — Кристоффеля на а) продольные составляющие:
X = Xafi Iа 1 /О 1 о\
т/ T^ А V V Д V ..и. I
J a? = — У luv I Ya Y?, ^afryo = Avta Y<* Y? Yy Yg> J
б) продольно-поперечные составляющие:
(9.14)
XlI = XapJaYli; Pp = -JWV Y?J
_ '7 JlX V 1 X Д/ лг I Ц V
Ga? — Avta 1 У о У а Y?> 1 Y^? — — Y I juv У у У а Y?J
в) поперечно-поперечные составляющие:
Xuv = Xa? уд YvJ Yliv= — Yiafi Yu Yv \ 1 /о і
~7 7 Iа,,? ( [V'LO)
Zvlv = Lafiio І Уп 1 Yv. J
Компоненты выписанных тензоров связаны 10 уравнениями Эйнштейна. В вакууме (^jav = 0) они записываются в виде
X+ YapZap = 0; X + va?^a?=0; |
= 0; TapFap = 0; (9.16)
Xax + ZcJl + Taf5Zaapx = 0; Ya+ TapFapo = 0.)
Эти соотношения фактически уже записывались в § 2.2 при рассмотрении алгебраической классификации Петрова пространств
175: Эйнштейна. Они выражают матрицу Z через компоненты матрицы Xf характеризуют свойства симметрии матрицы Y и следы матриц XnY.
Алгебраический подход и диадный метод. В диадном расщеплении (7.41) вектор Tja определяется используемой системой отсчета, а вектор должен задаваться с помощью некоторой геометрической характеристики пространства-времени, соответствующей волне. Наиболее подходит для этой цели изотропный вектор Дебеве, являющийся собственным вектором матрицы тензора Римана—Кристоффеля (тензора Вейля). Если волновой вектор (7.41) направить вдоль вектора Дебеве, то из уравнений, установленных Дебеве [147] для различных алгебраических подтипов пространств, можно получить интересные соотношения между продольными, продольно-поперечными и поперечно-попе-речными компонентами тензора кривизны. Эти соотношения аналогичны свойства компонент векторов электрической E и магнитной H напряженностей в электромагнитной волне. При этом тензор X является аналогом электрической напряженности, а тензор У—аналогом магнитной напряженности. Запишем через компоненты (9.13) — (9.15) уравнения Дебеве в порядке сужения удовлетворяющих им множеств пространственно-временных многообразий:
