Системы отсчета в теории гравитации - Владимиров Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
(7.125)
Всего существует 12 комплексных спиновых коэффициентов Ньюмена—Пен-роуза.
Диадные физико-геометрические тензоры легко записать через спиновые .коэффициенты Ньюмена—Пенроуза, например:
Fp = — (1/2) [(х + т — Jt — v) + (х + т — Jt — v) m?]; fv = — ( 1I2) [ (и — т + л — v) m? + (x — T + Jt — v) m?].
(7.126)
Операторы дифференцирования. В формализме Ньюмена— Пенроуза введены специальные обозначения для операторов ковариантного дифференцирования вдоль направлений изотропной тетрады:
D = ^VJA; A = WjiVj4; 6 = muvM; 6 = ™^. (7.127)
Так как в основном рассматривается действие этих операторов на скаляры, указанные операторы совпадают с производными Ли вдоль соответствующих направлений. Для записи диадных операторов дифференцирования через операторы (7.127) следует воспользоваться соотношением
V= - Bv уі = -Bv K«v + 'V"v) = -"v (?X) - %(?v'"v>
Запись основных соотношений ОТО. В формализме Ньюмена— Пенроуза в качестве основных величин гравитационного поля рассматриваются: компоненты тетрад, спиновые коэффициенты (7.125) и полный набор независимых скалярных проекций тензора Римана—Кристоффеля (7.123), (7.124). Б качестве уравнений для этих переменных рассматриваются: независимые проек-дии тождеств Бианки на направления изотропных тетрад, проекции тождеств Риччи, координатные уравнения для компонент тетрад. Все эти довольно громоздкие уравнения можно найти в работах и обзорах по формализму Ньюмена— Ленроуза (см., например, [91, 128J). Кроме того, конечно, используются уравнения Эйнштейна как выражения девиатора тензора Риччи Фаь и А через тензор энергии-импульса материи.
Глава 8
ПРОБЛЕМА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ
8.1. СУТЬ ПРОБЛЕМЫ ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА В ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
Проблема энергии-импульса гравитационного поля возникла сразу же после создания ОТО; с тех пор было затрачено много
155: усилий для ее разрешения, однако полное единодушие по этому вопросу не достигнуто до сих пор.
Как известно, законы сохранения энергии и импульса материи в плоском пространстве-времени выводятся из соотношения
дТ^ Idxv = О, (8.1)
где Tliv тензор энергии-импульса материи. Записав интеграл от (8.1) по 4-объему, с помощью теоремы Остроградского — Гаусса можно перейти к интегрированию Tixv по 3-мерной гиперповерхности, ограничивающей выбранный 4-объем. Беря в качестве 4-объема область пространства-времени, заключенную между двумя ПрОСТраНСТВеННО-ПОДОбНЫМИ ГИПерПОВерХНОСТЯМИ JC(I)-COnst и
=const, и полагая, что на пространственной бесконечности, T?V = 0, получаем законы сохранения:
J T^dov = J T110Cl3X = Pil = (const) (8.2)
В искривленном пространстве-времени тензор энергии-импульса материи обладает свойством yvT^v = О, что в общем случае не соответствует сохранению какой-либо величины, так как для перехода к интегрированию по гиперповерхности необходимо иметь обычную, а не ковариантную дивергенцию. Это же выражение можно представить в виде
W^v = (W=J) (d/dxv) (1/=7 T?V) + К.Г" = 0. (8.3>
«Лишним» оказывается последний член справа. Таким образом, в искривленном пространстве-времени ОТО, вообще говоря, не выполняются законы сохранения энергии и импульса материи.
Однако в ОТО, как и в плоском пространстве-времени, имеет место закон сохранения заряда. Последний следует из соотноше-ния V^ которое можно записать в виде
V^ t= + i^1 Г = (V=®*) =O- (8.4)
дх1* Y—g дха У- g дх»
Отсюда легко получить закон сохранения заряда J VzzIf (w Г) = ? Vzr? i?do?=0+ Fdoll = const. (8.5)1
V с
На отсутствие законов сохранения энергии и импульса материи в ОТО можно взглянуть иначе. Обычно в плоском пространстве-времени эти законы связываются соответственно с однородностью времени и пространства. Для существования закона сохранения момента количества движения необходимо свойство изотропности пространства. В общем случае эти свойства пространственно-временного многообразия следует трактовать на языке векторов Киллинга, но, как уже отмечалось, в искривленном пространстве-времени они могут отсутствовать.
156: В частных метриках, обладающих векторами Киллинга, можно1 ввести соответствующие им законы сохранения. Действительно, пусть в многообразии имеется вектор Киллинга S?. Построим вектор Pa = 7"0?. Согласно (8.3) и уравнениям Киллинга (1.55) он-удовлетворяет соотношению
= Г15VaS? = (1/2) Г* (VaE? + V?U = 0, (8.6),
т. е. имеем свойство Pa, аналогичное (8.4) для вектора тока. Отсюда следует закон сохранения. Если вектор Киллинга Sp временно-подобен, то можно говорить о законе сохранения энергии, если пространственно-подобен — о законе сохранения импульса.
При обсуждении вопроса о сохранении тензорных величин следует иметь в виду, что в искривленном пространстве-времени определено интегрирование лишь скалярных величин. Для интегрирования тензорных величин их следовало бы перенести в одну точку, однако результат переноса зависит от пути.
Для определения операции интегрирования вектора энергии-импульса естественным подходом является задание конкретных путей переноса, например по геодезическим. Именно так можно задать эти величины для одиночного наблюдателя. Однако при подобном определении возникают трудности, если между двумя точками можно провести несколько геодезических.
