Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
S^+Sgf = J {"i^ V>
Sef ЕЕ S^+Sgf = j їх V=F { - -л A"" Va Vа V +g^VA Vа Hvv +
319 +1 Rv K hXv - \ r^P h?X h"p + Ф-,Р> ь^ф-^фоф + яф2^.
(27.115)
Для облегчения записи введем следующие обозначения:
ДрХі/(, _ jyivXp _ д\{р ^ ?P" _ ф',»" ^
pp.V\p = 1 {д,Х gVfi + g?P gV\ _ Г дХР J _
PXpaS = (в Xo дР,5 + 9X6 Эра ~ ЭХр Эаб ) ,
Ptivxp PxU = S? , &v) = \ (Г + D- (27.116)
Тензоры P и P-1 пропорциональны соответственно тензору суперметрики ДеВитта (24.53) и его обратному (24.54). Заметим, что
д(рх)Vp _ д{р.х)(ир) _ A(vp)(?А) _ (27.117)
Запишем эффективное действие (27.115) при помощи введенных обозначений:
Sef = j dAx ^Tg j -1 h?V P^ Vct Vct hXp - і h?V A^ hxP +
+ В"" к^ф--фОф+фКф J. . (27.118)
Здесь и далее оператор ? является ковариантным оператором д'Аламбера, который определён согласно (9.41) и используется в (27.57). С другой стороны, оператор VtrVcr действует на hXp гораздо более сложным образом:
Vct V0 hxp = ^L (V=F9?V Ла,,„ ),„ + дат { [ -2 ТаХт hap<a + V-9
+ (-Г?т>ст + Г?ст Taxf3 ) Kp + (Г^ Г?г Aa, + Т% ТаХт ha?)} + [X^p}}.
(27.119)
Здесь была использована формула (14.4). Введём величину
JVp^a =-2 ^1?/?, (27.120)
320 при помощи которой сложное выражение (27.119) переписывается гораздо более компактным образом. Имеем
-2 <Г [ (Пг Kp,а) + (Л р) ] = 2 N^p ^a Katll, (27.121) 9°т { [ (~Ttr,a + Г x?)hap] + [\^p}} = = <Г /W + 2 (д% + д" TJr )Г^(Л Ka . (27.122)
Но
g% + giT rjT = -r.
Поэтому правая часть равенства (27.122) равна
+ = (VvW)Khva. (27.122')
Везде далее подразумевается, что в V^ Nfl ковариантная производная действует лишь на первый верхний индекс величины (27.120). Далее
Г [ (Гдст Цт hap + Ца Г"т ha? ) + (А«/))] = = 9-,* N216Т nIt "" V = (Na Na )Z Kv . (27.123)
Собирая вместе формулы (27.119)-(27.123), получаем окончательно
д
'a^ дхf +
+ [ (V, N" + (N11 N" ] } Ka - (27.124)
Будем далее рассматривать 10 компонент h\p как первые 10 компонент одиннадцатимерного вещественного векторного поля, а поле ф — как его одиннадцатую компоненту. Симметризованная пара индексов (pv) заменяется одним индексом і = 1, ..., 10. При таком подходе набор величин JVjj1' va составляет векторнозначную матрицу Nfj, где і = (Ар), j = (v<r), набор величин РХрті Ar6ua образует матрицу (Р~1 A)ij, a Bfiv - вектор В,-, у которого одиннадцатая компонента равна нулю.
Теперь мы можем записать (27.118) Sef как интеграл от следующей плотности (при этом мы используем свойства матрицы Aij (27.117), а также равенство PXp\s = РА~ДТ ):
Vct VCT Kp = Ohxp + {2 N^
-I (h' Ф)
poI К Ol1
321 к = V^ + 2N?d" + V»N? + n^n" + P~lA) -p~lB ^ V -Bt ? — 2 R J
(27.125)
Таким образом, оператор К в (27.125) имеет нужный вид в соответствии с (27.57). Однако полный оператор, заключённый в квадратные скобки в (27.125), отличается от оператора в действии (27.57). Здесь следует обратиться к выводу пункта 26.5: если кинетическая энергия в действии зависит от метрического тензора, то функциональная мера в амплитуде перехода также зависит от метрического тензора и потому даёт вклад в амплитуду перехода, пропорциональный <$(4) (0). Однако эта расходимость в точности сокращается с аналогичной расходимостью, возникающей из-за явной зависимости кинетической энергии от метрического тензора.
Вычёркивание первого множителя в квадратных скобках в (27.125) может быть мотивировано также тем, что в методе размерной регуляризации все дельта-функции и их производные равны нулю в точке, где их аргументы равны нулю.
Сказанное означает, что в нашей ситуации первый множитель в квадратных скобках в (27.125) может быть опущен как дающий в амплитуду перехода расходимость вида <$(4)(0), которая сокращается с аналогичной расходимостью, возникающей из-за нетривиальности функциональной меры. Поэтому в однопетлевом приближении вклад в амплитуду перехода от эффективного действия (27.115) даётся формулой (27.64), в которой в качестве оператора К берется обозначенный этой же буквой оператор в (27.125).
Для вычисления расходимостей в этой части амплитуды мы можем воспользоваться алгоритмом, выведенным в пункте 27.5.
Из сравнения операторов (27.125) и (27.65) видно, что в нашем случае оператор X в (27.99) имеет вид
а оператор Yfiv задается согласно (27.60). Операторы А, В, Р~1 и N? определены в (27.116) и (27.120). Путём прямого вычисления находим
(^)83 = 2??,- (27-127)
Вычислим следы тех компонент, из которых состоит контрчлен
322 (27.99). При помощи (27.127) имеем
tr YiivY^ = _6RfivxpR^,
Согласно (27.70) последнее выражение под интегралом f dAx -J-Q может быть заменено на следующее:
tr Ytiv Ytiv = — 24 Rfiv Rliv + 6 R2 . (27.128)
Воспользуемся уравнениями движения (27.109), согласно которым
Rtiv ВТ = І фі/г ^v fr? ф* = R2, (27.129)
и потому
tr YlivYliv = -18R2. (27.130)
Далее при помощи (27.126) получаем
tr X2 = trio [PAP-'A + ^RP-'A+Jr2] +
121
+ 2 BtP-1B+—Я2. (27.131)
od
Здесь символ trjo обозначает взятие следа в 10-мерном пространстве компонент h(?„). Согласно (27.116)
