Лекции по теории гравитации - Вергелес С.Н.
Скачать (прямая ссылка):
a = Oi sh Tj, t =^idirj-I). (21.44)
Отсюда при г} << 1
о
а = у/2 oict,
32 тг Gt2
что совпадает с (21.38) и (21.39). Таким образом, и в изотропной модели с отрицательной кривизной метрика имеет особую точку при t = 0. Вторая особая точка здесь отсутствует.
Изотропная модель с отрицательной кривизной называется открытой изотропной моделью.
Заметим, что изменение радиуса кривизны во времени есть факт объективный, с выбором координатной системы не связанный. Действительно, кроме гравитационного взаимодействия, существуют и другие. В частности, электромагнитное взаимодействие в рамках квантовой механики приводит к появлению боровского радиуса. В рассмотренных процессах боровский радиус остается неизменным (если Вселенная не очень близка к рассмотренным особым точкам).
21.3. Космологические следствия
Рассмотрим распространение световых лучей, испускаемых или поглощаемых в точке х = 0 в момент времени t(r]).
Из соображений симметрии ясно, что вдоль траектории в = = const, ф = const. Так как ds2 = a2(rj) (dr]2 — dx2), то ds = О означает, что d\ = ±dr). Поэтому уравнения траекторий описанных световых лучей имеют вид
X = ±г] + const. (21.45)
165 Рассмотрим изменение частоты света при его распространении. Пусть в некоторой точке пространства р (ввиду однородности пространства можно считать, что точка р имеет координаты х — 0) происходят два события, разделенные промежутком времени dt = = а(rj) drj/c. Пусть в моменты этих событий отправляются световые сигналы, которые наблюдаются в другой точке пространства q с координатой х- И3 (21.45) следует, что для обоих этих сигналов Ат] = Ax = X- Поэтому моменты наблюдения этих световых сигналов в точке q разделены интервалом времени, соответствующим тому же изменению Arj переменной rj, что и в точке отправления. Но поскольку за время распространения сигнала изменяется радиус кривизны а, то собственные времена между двумя описанными событиями в точках р и q оказываются пропорциональными a(rj) и a(r] + Arj) соответственно. Это означает, что и периоды световых колебаний пропорциональны а, а световые частоты - обратно пропорциональны а, т.е.
wa = const (21.46)
вдоль светового луча.
Предположим, что в момент времени t(r]) наблюдается свет в точке х = 0, излученный источником, находящимся на расстоянии, соответствующем координате х- Согласно (21.45) момент испускания этого света есть t(rj — х)- Если wo есть частота света в момент испускания, то согласно (21.46) наблюдаемая частота равна
W = ^T1W0. (21.47)
aKrIj
Если радиус кривизны а монотонно возрастает, то частота наблюдаемого света монотонно падает по сравнению с частотой испускания по мере удаления источника испускания от точки наблюдения. Это значит, что при наблюдении спектра приходящего света все его линии оказываются смещенными в красную сторону по сравнению со спектрами тех же веществ в нормальных условиях. Это явление называется красным смещением.
Пусть X << 1- Это означает, что расстояние между точками испускания и поглощения не очень велико. Тогда вместо (21.47)
166 приближенно имеем
^ = (21.48)
W0 а(г))
UIQ-UI H
Ul0 - ( с
са 1 da
= = а Ъ
Расстояние I, пройденное лучом света, будет равно
/= Г a(v-x')dX' *ха(ч)- (21-49)
J о
В результате для относительной величины изменения частоты находим следующую формулу:
= (21.50)
где
H = ^= ~ (21-51)
- так называемая постоянная Хаббла. Напомним, что ct = X0 -мировое время.
Если красное смещение рассматривать как результат эффекта Допплера, то можно определить скорости v галактик, с которыми они разбегаются. Согласно эффекту Допплера z = v/c. Сравнив с (21.50), находим
V = Hl. (21.52)
Постоянная Хаббла не зависит от Z и экспериментально измерима. Согласно последним оценкам, сделанным на космическом телескопе "Хаббл" с точностью до 10%, она равна
Я W Ю-18 с-1, (21.53)
или 70 (км • с-1)- (Мпк)-1 . Это означает, что скорость разбегания увеличивается на 70 км/с на каждый мегапарсек расстояния.
Выразим при помощи (21.51) а через Я и подставим в (21.29) и (21.41) соответственно. В результате получим
(21.54)
для замкнутой модели и
4 = (21-55)
167 для открытой модели. Таким образом, кривизна пространства положительна или отрицательна, в зависимости от того положительна или отрицательна разность SirG /і/З — H2. Эта разность обращается в нуль при
о тг2
рк = —— ю 0,5- Ю-29г/см3. (21.56)
о7Г G
Замечание. Введем стандартное обозначение
Mfc
Тогда из уравнений (21.51),(21.54-56) имеем
10-4=(^(?"-
При высоких плотностях можно воспользоваться формулой (21.38), при помощи которой находим
I О - 1 — . ai
Для оценки масштаба ai предположим, что предыдущая оценка качественно верна в современную эпоху эволюции, когда Вселенная продолжает расширяться. Согласно эксперименту
О, Kfi <2,
~ 15 • IO9 лет - возраст Вселенной, так что do ~ Lq ~ IO28 см. Отсюда получаем а і ~ Lo- С другой стороны, в момент рождения Вселенной IO-33 см, и потому
Lo
Эта оценка имеет место в модели Фридмана со степенным расширением (21.38) в самой начальной стадии расширения.
