Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
рассмотрению квазистационарного движения системы линейных проводников, по
которым протекают простые замкнутые гальванические токи.
Состояние системы определяется положением и скоростью проводников, а
также силой тока в каждом из них в отдельности. Пусть <рх, <р'ъ ч>{, .. .
означают координаты, относящиеся к положению первого проводника; подобные
выражения будут иметь место и для остальных проводников. Кажово будет
приращение энергии или внешней работы, соответствующее возможному
изменению всех координат? Системе можно сообщить энергию, действуя на нее
механически или электромагнитной индукцией. В первом случае мы будем
иметь работу механическую, во втором -электромоторную. Механическая
работа будет опять иметь вид
8<рг + Ф[ д<р[ + ... + Ф2 д<р2 + ...
Обозначил!, далее, через Еъ Е2 электродвижущие силы, индуктированные в
отдельных проводниках внешними воздействиями (например, движущимися
магнитами, непринадлежащими системе); тогда произведенная извне на токи в
проводниках нашей системы электромоторная работа будет равна
Е1 -f- Е2 (3fi2
где 6е1; бе2, ... - количества электричества, протекающие при бесконечно
малом возможном потоке через сечения проводников. Конечные значения сил
токов будел! обозначать через ё1( ё2, ... Таким образом, электрическое
состояние первого проводника будет вообще определяться силой тока ё1,
М. ПЛАНК
механическое же (положение и скорость) - координатами <рх, 9о[, ф'ъ .. .
и соответствующими скоростями фх, фф <р"ъ ... Координаты е1; е2, ...
носят название "циклических", так как состояние определяется не их
значением в известный момент, а только их производными по времени,
подобно тому как состояние тела вращения, могущего вращаться вокруг оси
симметрии, зависит не от самого угла вращения, а от угловой скорости
вращения. Введя вышеуказанные обозначения, мы можем теперь применить
принцип наименьшего действия к рассматриваемому нами случаю. Здесь Н-Ну-
\-Не, где Ну - механический потенциал, зависящий от <р и ф,
электрокинетический же потенциал имеет следующий вид:
^ 1 2 .1 f р р _L 1 _ о р .1 Т - - р? -L.
Не - -7) Ln ц + L12 ех е2 -(- L13 ei е3 -f • ¦ ¦ + т L
-22 2 '
Величины Ln, L12, Ln, . . ., L22, ... - так называемые коэффициенты
самоиндукции и взаимной индукции, зависят известным образом от <pv <р'ъ
<р\, . . .,
Vt> Vir • • •
Таким образом, по уравнению (4) для движения первого проводника будем
иметь
ф ф ( ЪНд, 'j ЭН? I _ Р.
1 dt ( дф1 ) ' 9^ ' 9^!
Подобным же образом для <р[, ср'ъ ... и для протекающего по нему тока
Законы механических (пондеромоторных) действий можно понимать таким
образом, что к обыкновенной силе, выражаемой через Ф1г присоединяется для
первого проводника механическая сила:
9Не 1 9L,, . 2 9L12 • • 9L13 • •
^фф - + Ж6162 + Ж ?1ез + • • • '
слагающаяся из действия тока на самого себя (первое слагаемое) и
из действий на него остальных токов (остальные слагаемые).
Законы же электри-
ческих действий могут быть выражены таким образом, что, кроме внешней
электродвижущей силы Еъ на первый проводник действует еще электродвижущая
сила:
- (~Эеф") ~ ~~ W ^ ^12 ^13 ^3 • • • Ь
в свою очередь слагающаяся из действия тока на самого себя (самоиндукция)
и из индуктированных действий остальных токов, и что внешняя
электродвижущая сила и результирующая сила, обусловленная всеми
индукционными эффектами, уравновешивают друг друга.
Ни гальваническая проводимость, ни гальваническое сопротивление в этих
уравнениях не содержатся, так как соответствующая им энергия, теплота
Джоуля, возникает с помощью необратимого процесса, а эти процессы не
могут быть представлены принципом наименьшего действия. Впрочем, это
действие, а также и другие необратимые действия могут быть формально
введены в рассмотрение приемом, предложенным Гельмгольцем ; для этого
нужно в данном случае ввести еще одну внешнюю электродвижущую силу
сопротивления w, действующую в смысле уменьшения энергии системы. Это
изменение энергии для бесконечно малого промежутка времени будет
(iTi ef -j- w2 ei -j- iv3 e| -j- .. .) dt = - (w ?x dex -j- w2 e2 ds2 -f-
.,..).
ОТРЫВОК'ИЗ "ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ"
575
Чтобы внешняя работа Ег dsx + ?2 de2 + ... обнимала также теплоту Джоуля,
нужно в электромоторных уравнениях к слагающим внешних сил Elt Et, . ..
присоединить еще добавочные члены -w1 ev -w2 ё2, ...
Особенного интереса заслуживает применение принципа наименьшего действия
к процессам термодинамическим, так как здесь с особенной ясностью
выступает важность вопроса о выборе обобщенных координат, определяющих
состояние образа. С точки зрения чистой термодинамики можно выбрать
совершенно произвольно переменные, определяющие положения системы; так,
например, для газа с определенными неизменяемыми свойствами можно взять
любые две из следующих величин: объем V, температуру Т, давление р,
энергию Е, энтропию S, остальные же выразить в функции этих двух. Здесь
дело обстоит совсем иначе. Действительно, для применения принципа
