Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
и если к обеим частям уравнения прибавить интеграл
§d'Udt = j 2QtS' Qi dt,
а также если опустить в правой части члены, не содержащие знака
интеграла, распорядившись вариациями в начале и в конце промежутка
времени, то найдем следующее уравнение:
J dtdT + 2Г 6 dt + dT dt + d'U dt = j + Qi) <5' Qi dt. (6)
Кроме того, из уравнений (3) следует
2 Pki Q'i + Pk = 0, v Pki Ч + Pk St = 0, или, на основании условия (4),
получаем уравнение
2 Рш Qt = 0,
представляющее собою условия, которым подчинены виртуальные перемещения.
Если теперь положить dt равным нулю, то слева опять получается
гамильтоново интегральное условие, как эквивалентное уравнениям
э т d ьт , п ^ з
Э qt dt dq'i + ~ к Р/а •
Если, с другой стороны, в качестве условия, которое налагается на энергию
варьированного движения, принять следующее:
3'Udt + dTdt = dTdt, (7)
то отсюда вытекает расширенный принцип наименьшего действия. Условие (7)
можно еще преобразовать. Мы имеем:
= * (¦ж + 2-,'> "> + 2 fr "И ¦
или на основании уравнений (7) и (5) при соответствующих обозначениях,
так что и здесь при виртуальном перемещении полная энергия не изменяется,
гак как последнее уравнение может быть записано также в виде
d,(T-U) = 0.
Таким образом, соответствующее исследование проведено и в самом общем
случае.
П. АППЕЛЬ
ОБ ОДНОЙ ОБЩЕЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ
И О ПРИНЦИПЕ ГАУССА [201]
В томе 121 этого журнала нами была опубликована статья "Об одной общей
форме уравнений динамики"; мы просим разрешения представить две
дополнительные заметки, относящиеся к теме этой статьи, одну -
математического характера, другую - библиографического, - о принципе
наименьшего принуждения Гаусса.
1. Уравнения Лагранжа применимы, когда связи некоторой системы без
трения могут быть выражены в конечной форме и когда применяются
параметры, являющиеся истинными координатами. Предположим для упрощения,
что существует силовая функция U. Тогда можно написать уравнения
движения, если только известны выражения половины живой силы Т и U в
функции независимых параметров.
Если, напротив, все связи не могут быть выражены соотношениями в конечной
форме, то нельзя более применять уравнения Лагранжа; чтобы
написать уравнения движения, достаточно знать Z7 и функцию S = у 2 m J2,
образованную ускорениями так же, как Т образуется из скоростей. Но
является ли это условие необходимым?
Могут ли существовать уравнения движения более общие, нежели уравнения
Лагранжа, применимые ко всем случаям и требующие для своего составления
только знания двух функций: Т и Z7? Мы сейчас покажем, что такие
уравнения не существуют. Для этого мы приведем две различные системы, для
которых функции Т и U тождественно равны, причем, однако, уравнения
движения этих систем не одни и те же.
Первая система. Представим себе тяжелое тело, удовлетворяющее следующим
условиям:
1) тело заканчивается острым ребром в форме круга радиуса а;
2) центр тяжести G тела находится в центре круга К;
3) эллипсоид инерции для центра тяжести G есть эллипсоид вращения
относительно перпендикуляра Gz к плоскости круга.
Предположим, далее, что тело, построенное таким образом, вынуждено
катиться без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, которой
оно касается круговым ребром К.
Пусть будет Ga полупрямая, проведенная из центра G вертикально вверх;
примем за ось Gy перпендикуляр к плоскости aGz и за ось Gx -
перпендикуляр к плоскости yGz; тогда Gy будет горизонталью плоскости
круга К, a Gx - линией наибольшего ската этой плоскости, заканчивающейся
в точке соприкосновения круга К с неподвижной плоскостью. Обозначим через
в угол оси Gz с вертикалью Ga и через у - угол оси Gy с некоторой
определенной неподвижной горизонталью. Эти два угла определяют
ОБ ОДНОЙ ОБЩЕЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ И О ПРИНЦИПЕ ГАУССА 569-
ориентацию трехгранника Gxyz. Чтобы определить положение твердого тела
относительно трехгранника Gxyz, достаточно знать угол <р, который
образует с осью Gy радиус круга К, неизменно связанный с телом.
Таким образом, мгновенное вращение со тела слагается из вращения
трехгранника и из вращения = у' вокруг оси Gz. Составляющие р, q, г
вращения со таковы:
р = - у' sin в, q = в[ г = у' cos в + <р' ¦
С другой стороны, условие качения круга К требует, чтобы квадрат скорости
центра тяжести G был равен а2 (q2 -f г2). В результате, принимая массу
тела за единицу и обозначая через А и С соответственно моменты инерции
относительно осей Gx и Gz, имеем
2 Т = а2 (q2 + г2) + А (р2 + q2) + Сг2, откуда получаются окончательные
выражения для функций Т и U:
2Т = А у'2 sin2 в + (A -f а2) в'2 -f (С -f а2) (у' cos в + <Р')2> |
,,4
U = - ga sin в. (
Вторая система. Пусть имеется второе твердое тело той же формы, с тем же
радиусом а и с той же массой, что и предыдущее. Предположим, что масса в
этом теле распределена иначе и притом так, что если обозначить через Аг и
Сх моменты инерции, аналогичные А и С, то мы будем иметь
Ах - А, Сх = С + а2.
