Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 255

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 249 250 251 252 253 254 < 255 > 256 257 258 259 260 261 .. 461 >> Следующая

известное движение. Если ср пробегает значения в интервале от 0 до 2 л,
то в конце движения а, р, а также [см. уравнение (32)] и а3, jS3, у3
получают те же значения, что и вначале. Таким образом, путем чистого
качения мы получаем то же конечное положение шара, как если бы мы его
только повернули вокруг оси z. Так как при этом угол / изменился на w, то
w и дает угол этого поворота. Ось z не имеет особого направления; поэтому
можно каждое вращение вокруг центра шара, с точки зрения его конечного
результата, заменить только качением. Путем сложения движений можно
убедиться, что можно из каждого начального положения в каждое конечное
положение перейти путем чистого качения. Так как это движение составлено
из кусков, то в нем встречались бы разрывы непрерывности в скоростях, но
их можно будет устранить путем небольших изменений движения.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
559
Шар, который может катиться, но не скользить по плоскости, представляет
собой, следовательно, неголономную материальную систему.
§ 13. Новая форма условий связей
Мгновенное состояние движения шара мы будем теперь рассматривать как
составленное из вращения вокруг оси, проходящей через центр, и
поступательного движения. Пусть будут р, q,r - составляющие угловой
скорости, u,v,w - составляющие поступательной скорости, те и другие по
осям х, у, z. Эти составляющие определяются уравнениями*):
р = а3 da 2 dt + Рз dh dt + Уз- dy2 dt '
? = "1- da3 dt + Pl' dh dt + Yi dy3 dt '
г = а2- dal dt + P2 dh dt + У2 dyi dt
и ----- "1- da dt + Pl dp dt + У i dy dt '
V - а2- da dt + P2 dp dt + Уз- dy dt '
w - аз da dt + Рз- dP dt + Уз- dy ~dT '
(34)
Далее имеют место соотношения **):
<ЦГ - "3<?,
da±
~ТГ
da.
~df = <hP - <4 .
dt
dyi
dt
- Рзг ~ РзЯ >
¦' У2Г - Уз? >
^Г = РзР- Pir,
dy2
dt
УзР - УгГ:
da3
dt
dt
dy3
dt
"1? - "2P ,
: Pi4 ~ P2P ,
Yi4 - У2Р •
(35)
Если мы теперь в уравнениях (34) вместо подставим 0, вместо ~- правые
части уравнений (31), а после этого величины
dn3 dh dh
da j da,
~1Г' dt
dt
dt
dt
dh
dt
заменим правыми частями уравнений (35), то, воспользовавшись еще
соотношениями ортогонального преобразования координат, получим
ц = а (ysq - у2г), v = a {ург - у3р), w = a (у2р - Ylq).
(36)
*) См., например, G. Kirchhofi, цит. соч., стр. 50. **) Там же.
560
О. ГЁЛЬДЕР
Эти уравнения выражают зависимость, которая существует при качении без
скольжения между вращением и поступательным движением*). Составляющие р,
д, г угловой скорости могут быть взяты произвольно.
§ 14. Уравнения движения
После проведенной подготовки можно составить дифференциальные уравнения
движения**). Я пользуюсь здесь принципом Гамильтона. Так как не действуют
никакие силы, то следует положить
j дТ dt = О,
причем следует соблюдать соответствующий способ варьирования. Так как
система координат х, у, г мыслится. связанной с шаром, то кинетическая
энергия есть раз навсегда заданная функция величин р, д, г, и, v, w, и мы
получаем
эг
эг
ЭГ с. . ЭГ , эг .
~дГ Г + ~дй~ + ~dv
ЭГ
dw
dw}dt = 0. (37).
Надо выразить встречающиеся здесь вариации составляющих скорости Вариация
движения здесь производится опять так, что сначала каждое из пробегаемых
в первоначальном движении положений получает малое перемещение.
Перемещение разлагается на вращение вокруг центра шара и поступательное
перемещение. Вращение и поступательное перемещение дают по осям х, у, z
составляющие р', g', f и и', v', w'. Вариации составляющих скоростей
представляются формулами***)
др
dp'
hr
dq'
+ qr' - g'r,
= "J- + rp' - r'p,
3r = hr + Pq' - P'q
(38)
и формулами
du
du = -щ- -|- vr' - v'r + w'q - wq', dv = + wp' - w'p + u'r -
ur',
u'q + v'p - vp'.
о dw' , ,
d\v = + uq
dt
(39)
Вывод этих формул основывается на перестановке символов и д. Такая
перестановка допустима, если время не варьируется, а это как раз и
является условием варьирования для принципа Гамильтона.
Теперь в уравнении (37) мы вводим вместо др, dq, дг, ди, dv, dw правые
части уравнений (38) и (39). Принимая во внимание, что вариации для
начала и конца рассматриваемого интервала должны обращаться в нуль,
*) Нетрудно вывести эти уравнения геометрически.
**) Мы можем воспользоваться для качения также общими уравнениями Неймана
(Neumann, Вег. d. Sachs. Ges., 1888, стр. 36 и 39).
***) Kirchhoff, цит. соч., стр. 58 и 59.
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
561
4 эг . 6Г ЭГ , ЪТ ЪТ\ , .
M~w + p-w~r~bi + uifw-w^r)(i + d эг , ЭГ эг , эг эг
мы получаем после некоторых интегрирований по частям:
+(¦
, { d эг , эг эг , ЭГ ЭГ А , .
+ 47~ЭГ + ? P~dq- + V ~w~ U diT)r +
. ( d ЪТ , ЭГ " ЭГ'" , . { d ЭГ ЭГ ЭГ) , ,
+ (~ А'-8iT + г' ^ "ЭяГ; м + [~ Ш 'Э^Г + ~ Г~Ы)
v +
, ( d ЪТ , ЭГ ЭГ ^ ,| ,, п ,
+ (- *-ЭиГ + 9 du - Р dv ) w [1dt = 0 ¦ (4°)
До сих пор в этом параграфе не применялось условие, наложенное на
движение. Так как шар должен катиться без скольжения, то и перемещения,
соответствующие вариациям, которые являются виртуальными перемещениями,
Предыдущая << 1 .. 249 250 251 252 253 254 < 255 > 256 257 258 259 260 261 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed