Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой
с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного
движения, характерная для вариации определенная величина обращается в
нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или
минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты.
Понятно, что содержание принципа наименьшего действия приобретает
определенный смысл только в том случае, когда точно указаны как
наложенные условия, которым должны быть подчинены возможные движения, так
и характерная величина, которая для любой вариации действительного
движения должна исчезнуть. В формулировке принципа наименьшего действия
издавна составляло трудность нахождение правильного определения этих
условий и варьируемой величины. Но не менее ясно, что мысль охватить в
одном-единственном вариационном принципе все множество уравнений,
необходимых для характеристики движения любой сложной механической
системы, сама по себе имеет выдающееся значение и является важным успехом
теоретического исследования.
В связи с этим надо вспомнить о Теодицее Лейбница, в которой выдвинут
тезис о том, что истинным миром среди всех миров, которые могли бы быть
сотворены, является тот мир, который наряду с неизбежным злом содержит в
себе максимум добра. Этот тезис является не чем иным, как вариационным
582
М. ПЛАНК
принципом, выраженным в'такой же форме, как возникший позднее принцип
наименьшего действия. Неизбежное сцепление добра и зла играет при этом
роль предписанных условий, и ясно, что фактически из этого тезиса могли
бы быть выведены все особенности действительного мира, если бы удалось
математически точно сформулировать, с оДной стороны, меру для количества
добра, с другой стороны - предписанные условия. Второе так же важно, как
и первое.
Однако надо было пройти длинный путь, прежде чем пустая форма нашего
принципа могла быть наполнена богатым содержанием. Прежде всего дело
заключалось в том, чтобы найти характерную величину, значение которой для
действительного движения должно быть равно нулю. Тут с самого начала
можно исходить из двух различных точек зрения. В соответствии с одной
точкой зрения характерную величину относят к отдельному моменту или к
бесконечно малому элементу времени; в соответствии с другой, наоборот, к
конечному промежутку времени движения. Смотря по тому, решаются ли встать
на первую или на вторую точку зрения, приходят к двум различным классам
вариационных принципов.
К первому классу относятся принцип возможных перемещений Бернулли,
принцип сил инерции Д'Аламбера, принцип наименьшего принуждения Гаусса и
принцип прямейшего пути Герца. Все эти вариационные принципы можно
охарактеризовать как дифференциальные принципы, поскольку они вводят в
качестве характерного признака действительного движения свойство
движения, которое имеет значение для одного-единственного момента или
элемента времени. Для систем механики все эти принципы эквивалентны и
законам-движения Ньютона, и между собою. Но все они страдают тем
недостатком, что имеют смысл только для механических процессов и что их
формулировка делает необходимым пользоваться специальными координатами
точек рассматриваемой материальной системы. Их формулировка, в
зависимости от выбора координат точки, совершенно различна, и даже, чаще
всего, относительно сложна и мало наглядна.
От этого порока - неизбежности специальных механических координат - можно
освободиться, если сформулировать вариационный принцип как интегральный
принцип, отнеся его с самого начала к конечному интервалу времени. В
таком случае действительное движение отличается от всех возможных
движений тем свойством, что для любой из его допустимых вариаций
определенный интеграл по времени исчезает. В важнейших случаях это
условие может быть сформулировано и так, что для действительного движения
определенный интеграл по времени, определяемый как количество действия
или действие движения, меньше, чем для всякого другого движения,
связанного наложенными условиями. При этом действие одной-единственной
материальной точки, по Лейбницу, равно интегралу по времени от
кинетической энергии или, что является тем же самым, равно интегралу от
скорости по пути.
В этой формулировке принцип наименьшего действия может быть выражен
безотносительно к каким-либо специальным координатам точки и даже вообще
без предпосылки, что процесс является механическим, так как в его
формулировке играют роль только энергия и время. Правда, с введением
интеграла по времени возникает особое обстоятельство, с давних пор и по
сей день способное вызвать у некоторых физиков и исследователей теории
познания определенные сомнения относительно принципа наименьшего
действия, как вообще относительно любого интегрального принципа. А
именно, при этом действительное движение в определенное время
рассчитывается с помощью рассмотрения будущего движения, следовательно,
