Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
раз обстоятельно и живо изложить эту историю в академических речах: А.
Майера (1877 г.), Г. фон Гельмгольца (1887 г.), Е. Дюбуа-Раймонда (1892
г.), Дильса (1898 г.). Связь рассматриваемой проблемы с общим развитием
математических наук освещена в "Истории математики" Кантора, ее значение
для Берлинской Академии наук освещено в истории этой корпорации,
составленной Гарнаком.
Формулировка принципа наименьшего действия, данная Мопертюи, не говорит
ничего другого, кроме того, что "количество действия, употребленное на
происходящие в природе изменения, всегда является минимальным".
Следовательно, строго говоря, она вообще не дает никакого заключения о
законах изменения. Ибо до тех пор, пока не установлены условия, которым
должны быть подчинены возможные изменения, еще ничего не сказано о том,
какие изменения должны быть сравниваемы между собой. Мопертюи не хватило
аналитической критики для того, чтобы ясно увидеть этот пробел. Этот
недостаток станет тем понятнее, что сам J1. Эйлер, который в отстаивании
принципа стоял на стороне своего коллеги и друга и, во всяком случае, как
математик значительно превосходил Мопертюи, не смог добиться ясной
формулировки принципа.
Заслуга Мопертюи, собственно, заключалась скорее в том, что он вообще
искал принцип минимума, который являлся, в сущности, путеводной звездой
его спекуляций. Поэтому он привлек также принцип Ферма, так называемый
принцип скорейшего прибытия, хотя с принципом наименьшего действия он
находится в весьма косвенной и для тогдашней физики во всяком случае
непонятной связи. В основе этого интереса к принципу минимума лежала
метафизическая идея о том, что господство божества открывается в природе,
что поэтому в основе каждого процесса природы лежит намерение,
направленноё на достижение определенной цели и знающее, как достичь эту
цель наикратчайшим путем, с помощью наипростейших средств.
Насколько неудовлетворительны подобные телеологические размышления и
насколько они способны ввести в заблуждение, можно лучше всего убедиться,
если подумать над тем, что принцип наименьшего действия в самом общем
виде вовсе не является принципом минимума. Так, например, тезис о том,
что траектория материальной точки, свободно движущейся на шаре и не
подчиненной движущим силам, представляет собою кратчайшую линию между
исходным и конечным положениями, не действителен в том случае, если
траектория длиннее, чем половина длины окружности большого круга на шаре.
Следовательно, божественное предвидение не было в состоянии
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ
585
действовать за пределами половины окружности. Еще разительнее то
обстоятельство, что для "неголономной" системы принцип относится к
виртуальным движениям, которые даже не являются возможными движениями,
благодаря чему условие минимума совершенно теряет смысл.
Однако, несмотря на все это, нельзя упустить из вида того непоколебимого
исторического факта, что твердая вера во внутреннюю взаимосвязь законов
природы с господством высшего разума являлась непосредственной исходной
точкой открытия принципа наименьшего действия и что такая вера в случае,
если она с самого начала не втиснута в слишком узкие рамки, не может быть
несомненно доказана, но также никогда не может быть несомненно
опровергнута, так как в конце концов можно каждое всплывающее
противоречие снова и снова объяснять недостатками формулировки.
Ж. Лагранж первый ясно сформулировал принцип наименьшего действия (1760
г.). Среди всех движений, которые приводят систему материальных точек при
постоянной полной энергии из определенного исходного положения в
определенное конечное положение, действительное движение производит
минимальное действие. Следовательно, возможные движения должны
удовлетворять принципу сохранения энергии, зато они могут происходить в
любое время. В соответствии с этой формулировкой путь одной материальной
точки без приложенной движущей силы таков, что она с постоянной скоростью
и в кратчайшее время достигнет цели. В качестве кривой пути получается
линия кратчайшей длины, т. е. для свободной точки - прямая линия. К.
Якоби и У. Гамильтон показали впоследствии, что принцип допускает и
совершенно иные формулировки. Особую важность для будущего представляла
формулировка, которую предложил Гамильтон. В ней сравниваемые возможные
движения не должны обладать постоянной полной энергией, а вместо этого
все должны протекать в одно и то же время. Но в таком случае действие,
которое для действительного движения принимает минимальное значение, надо
выражать не интегралом по времени от кинетической энергии, данным
Мопертюи, а интегралом по времени от разности между кинетической и
потенциальной энергиями. В применении к указанному выше примеру
материальной точки, движущейся без воздействия движущих сил, принцип из
всех возможных кривых дает в качестве траектории ту, на которой точка в
определенное время с наименьшей скоростью достигает своей цели,
