Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Полак Л.С. -> "Вариационные принципы механики " -> 257

Вариационные принципы механики - Полак Л.С.

Полак Л.С. Вариационные принципы механики — Физматлит, 1959. — 930 c.
Скачать (прямая ссылка): varicionnieprincipimehaniki1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 251 252 253 254 255 256 < 257 > 258 259 260 261 262 263 .. 461 >> Следующая

действия с "принципом Гамильтона" и природу возникающих при этом
представлений, связанных с вариационным аспектом проблемы, и, если я
теперь возвращаюсь к его работе, то не для того, чтобы добавить к ней
что-либо принципиально существенное. Применение того же хода мысли к
случаю совершенно общих координат требует некоторых соображений, не
содержащихся в работе Гёльдера, в которой применяются координаты, явно от
времени не зависящие. Развить эти соображения, пожалуй, будет не лишним.
С этой целью я прежде всего воспроизведу ход мыслей Гёльдера**) в
несколько измененной форме, а затем изложу его, пользуясь совершенно
общими координатами.
§ 1. Формулировка принципов Гамильтона и Мопертюи у Гёльдера
Пусть имеется такая задача механики, в которой координаты х, у, z связаны
не зависящими от времени условиями, которые частично могут иметь форму
линейных дифференциальных уравнений; далее, пусть Т - живая сила, а
S'U = 2(Xh6xh + Yhdyh+ZM
h
- виртуальная работа действующих сил.
Конечным уравнениям связи можно удовлетворить, ввода координаты qt (i =
1,2, , п); тогда Т преобразуется в однородную функцию второй
степени величин qb a d'U принимает вид
&U = 2Qidqi, (1)
i
причем <7, связаны, сверх того, еще дифференциальными уравнениями:
2РиЧЯ, = о\к=';1 Ч. (2)
s |г = 1, 2, ..п)
*) A. HOlder, Ueber die Principien von Hamilton und Maupertuis, GOtt.
Nachr., 1896, вып. 2, стр. 1-36 [см. стр. 538 настоящей книги. - Прим.
ред.].
**) О применении координат qt, между прочим, упоминает и Гёльдер (там же,
стр. 14).
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
565
Если сообщить t и qt такие вариации, что смещенные положения Р' точек Р
системы соответствуют значениям t -f- dt, qt -f- dqh так что 8qh 8t
являются теми вариациями для момента t, при которых первоначальные
координаты xh, yh, zh получают произвольные виртуальные перемещения dxh,
dyh, dzh, то общеизвестным методом*) мы находим
Л'Г X? эг , V эГ (6d4i ' ' 6dt)
дт= 2 -щ Ч + 2 -щ: (тг - Ь -ж).
а следовательно,
dt dT + 2Tddt = dt 2 ^ 8qt + ? -g- d dqt + (2T - Щ Я\ -щ) б dt,
или, если по теореме об однородных функциях последний член опустить, а
второй член преобразовать путем интегрирования по частям в пределах от t0
до tly то получим
]i, it + 2Т н, - [ v -§?- а,,];; +12 [1~ - ~ -fr) Ч а • и и
Если к обеим частям уравнения прибавить
f S'U dt
t О
и опустить в правой части член, не содержащий знака интеграла, то,
принимая во внимание уравнения (1), получим
)dtaT + 2Tddt + S'Udt= $2(-Ц- + <2. - т, |г)Ч'<и..
t. U
Если теперь время оставить неварьированным, то отсюда следует
J (аг + i'U) m = j 2- (-§ + Q, - ¦§, -|J) Ч ш,
U U
а требование обращения в нуль интеграла Гамильтона дает дифференциальные
уравнения механики
_9Т п____________эг _ ' ;
-щ,- -Г Hi dt Qn', ~ 2. Psi '
1 s -О
и обратно.
Если же время варьировать, а изменение энергии согласно Гёльдеру
подчинить условию
ST - S'U = О, то, принимая во внимание условия (2), получим
4 2Гл = /.2(¦!? + <?,-!-§?)а,,л,
U /о
так что и расширенный принцип наименьшего действия**) оказывается
полностью эквивалентным дифференциальным уравнениям механики.
*) См. Н б 1 d е г, там же, стр. 9.
**) Ср. Holder, там же, стр. 11.
566
А. ФОСС
§ 2. Случай обобщенных координат
Допустим теперь, что и конечные уравнения связей содержат явно время.
Если от них освободиться, вводя координаты q, (г = 1, 2, , п)
и полагая, таким образом, xh, yh, zh равными некоторым функциям
переменных t и qh то дифференциальные уравнения связей, даже если они до
этого явно не содержат t в качестве дифференциала или аргумента,
принимают вид
где теперь уже pks, рк суть функции qi} t, так что здесь следует
предполагать осуществленным этот общий случай, рассмотренный мною уже в
1884 г.*). В то же время Т есть функция второй степени от q',**).
Если теперь сообщить координатам xh, у," zh вариации, изменяя q" t на
bqit bt, то xh изменяются на величину
Однако, применяя принцип Д'Аламбера, мы должны пользоваться только
виртуальными Перемещениями b'xh, b'yh, b'zh. Принимая во внимание
уравнение
мы видим теперь, что при таком воззрении***) виртуальные перемещения S'
соответствуют значениям
Если t увеличить на dt, a q,¦ на dqh то из уравнения (4) вытекает еще:
*) A. Voss, Ueber die Differentialgleichungen der Mechanik, Math. Ann.,
т. 25, стр. 258. **) В дальнейшем этот особый вид функции Т не играет
роли.
***) Ср. относящееся сюда замечание в книге : J. R о u t h, Dynamik, т.
2, стр. 329.
2'Pksdqs +Pkdt^O, к = 1, 2, ..., v,
(3)
тогда как
dxh ^ Эх/, , Эх/,
dt dq] + Qt ' '
S'xh = 8xh - X'h8t = (dq, - q\dt)
S'q, = Sq, - q\ dt,
(4)
так что
S' dq,= S dq, - 'q^S dt + q", St dt.
(5)
Совершенно так же, как и раньше, получаем
|^Т + 2ГМ= %-" +
О ПРИНЦИПАХ ГАМИЛЬТОНА И МОПЕРТЮИ
567
или, если преобразовать последний интеграл при помощи интегрирования по
частям, то предыдущее выражение оказывается равным
1^гш+2Ш';Л
^0
Если теперь принять во внимание, что
к{2т -2,1 Ш -2f + 22^,1 + 2,Ш¦
Предыдущая << 1 .. 251 252 253 254 255 256 < 257 > 258 259 260 261 262 263 .. 461 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed