Вариационные принципы механики - Полак Л.С.
Скачать (прямая ссылка):
есть также объемный интеграл, распространенный на некоторую однородную
функцию / второй степени, представляющую потенциальную энергию элемента
объема. Она зависит, как можно убедиться из чисто геометрических
соображений, только от шести величин деформации:
_ Y dvy _ ду2
дх х ду дг
дуу ду2 ду2 , дух дух , dyv
~дГ ~дУ -Уг - 2У> "ЭЗГ ~~9Т' ~Zx - xz' -0JT + ~~дх = ХУ = Ух'
В общем, следовательно, / содержит 21 не зависящую друг от друга
произвольную постоянную, которые характеризуют упругое состояние
вещества. Для изотропных субстанций это число в силу симметрии сводится к
2. Подставив полученные значения в выражение принципа наименьшего
действия (3) и (4), получим
§dt[§drk(vxdvx + .. ¦)-^г{^гхдхх + щ;дху+ ¦ ¦ .)+§do(Xv8vx +.. .)] = 0.
Положив для краткости
_§/ _ х 9/_ _ _
Лт > О.. Л. 2 -
дхх х' ду2 1г_^'
_9/ у _ 9/ у у
' г у > 1
д у у у ' 9 гх
dzx ~~ ~х ' дХу ~~ "У
и приведя интегрированием по частям вариации 5tx, di>y, 6tz, а также
вариации дхх, дху, бх,, ... к вариациям 8vx, bvy, dvz, найдем следующие
37 Вариационные принципы механики
578
М. ПЛАНК
уравнения, имеющие место для точек внутри тела:
/•' , дх* , дУ , 8Z п
х Эх ~ду~ Эг^ = °> • • •
и на поверхности
Xv = Хх cos vx + Ху cos vy + X2cos vz, ...,
как это известно из теории упругости. Из уравнений на поверхности
вытекает механическое значение величин Хх, Yy, ... как поверхностных сил.
Приложим, наконец, принцип наименьшего действия к одному специальному
случаю из области электродинамики, а именно к электродинамическим
явлениям в покоящемся однородном непроводнике, например в пустоте. Этот
вывод мало чем отличается от только что приведенного. Единственным
отличием будет то, что в электродинамике зависимость потенциальной
энергии U от обобщенных координат v несколько иная, чем для упругой
среды. Итак, положим опять для внешней работы
А = J da (Xv dvx + Yv dvy -f- Z" dvz), ...
и для кинетического потенциала
H = L - U,
откуда опять
L = J dr 1Г = JdT Т •
Между тем здесь мы напишем
U = J dr- (curl v)2.
Этими положениями вполне определяются не только динамические уравнения,
но и предельные условия. Действительно, принцип наименьшего действия (1)
и (3) дает
J dt [ j dr (tx 8vx + ...) - f dr h (curlx v d curlx v + ...) j da (Xv
dvx 0.
Отсюда таким же путем, как в теории упругости, найдем для точек внутри
тела
мх _ ft piSbi _ j..................
или, короче,
k 'v = - h curl curl v,
и для поверхности
Хг = h (curl2 v cos v у - curly v cos v z), ...
Эти уравнения будут совпадать с известными электродинамическими
уравнениями, если положить L равной электрической, a U - магнитной
энергии (или наоборот). Действительно, положим
'¦ = -кЪ*-"я "
(F и 2 - силы поля, е - диэлектрическая постоянная, р - магнитная
проницаемость) и сравним эти значения с вышенаписанными выражениями L и U
: тогда можно написать
ОТРЫВОК ИЗ "ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ"
579
Отсюда прежде всего, исключая v, получим
подставляя далее v и curl v в kv = - h curl curl v, получим
Сравнивая эти выражения с электродинамическими выражениями в так
называемых единицах Гаусса:
(с - скорость распространения света в пустоте), мы видим, что они будут
тождественны, если положить
Из этих двух уравнений получается для квадрата скорости распостра-
Из уравнения внешней работы получаем выражение для энергии, поступающей
извне,
Это выражение после подстановки из (6) вместо v и curl v их значений
будет тождественно с известным выражением Пойнтинга для потока энергии.
Таким образом, применяя принцип наименьшего действия, при надлежащем
выборе выражения для кинетического потенциала Н, мы получили известные
уравнения электромагнитного поля Максвелла.
Но сведены ли таким образом электродинамические явления к механическим?
Нисколько, ибо вектор V, которым мы пользовались, не представляет
величины механической. Невозможно также вообще истолковать v механически,
например v как перемещение, v как скорость, curl v как вращение. Ибо,
например, в электростатическом поле v постоянно, между тем v растет
неопределенно со временем; таким образом, curl v нельзя истолковать как
вращение*).
Таким образом, хотя вышеприведенные соображения не доказали возможности
механического истолкования электрических явлений, но, с другой стороны,
из них несомненно вытекает, что значение принципа наименьшего действия
распространяется далеко за пределы механики в узком смысле слова и что
этот принцип может быть положен в основание общей динамики, так как он
объемлет собою все обратимые процессы.
*) О невозможности свести электрические явления к движениям непрерывной
среды см. особенно Н. W i 11 е, О современном состоянии вопроса
механического толкования электрических явлений, Берлин, 1906.
= - с curl F, eF = с curl ?
и
нения
h с2
к е /л
dt j da (Xv vx + Yv vy -f Zv vz)
или, имея в виду уравнение для Xv:
dt J da h [(curl2 v ¦ cos vy - curly v cos v z) i>~ + ... ],
97Л
М. ПЛАНК
ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ [2Э4]