Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Множество Sq может моделировать границу раздела двух различных сред, а может находиться внутри однородной среды.
Эта поверхность Sq не будет поверхностью разрыва, если при переходе через неё векторы перемещения, скорости, а также напряжения не терпят разрыва, т. е.
[щ] = U1I -и\ = 0, [(TijUj] = [<Jij\nj = [(J1ij - (Tfij)Hj = 0. (22.1)
Величины [щ\ и [(Tijfij], заключённые в квадратные скобки в (22.1), называются скачками перемещений и напряжений при переходе через поверхность Sg-
Если при переходе через Sq терпят разрыв перемещения, или скорости, или температура, то Sq называется поверхностью сильного разрыва. Если же эти величины непрерывны, но в точках х Є Ho терпят разрыв их производные по координатам и времени, то S0 называется поверхностью слабого разрыва.
Пусть движение этой поверхности задаётся соотношением
т = г (t, а1, а2), (22.2)
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач
233
где а1, а2 — криволинейные координаты. Очевидно, что соотношение (22.2) можно записать в виде
Xi = Xi(t, а1, а2), (22.3)
или
g(xux2,x3,t) = 0. (22.4)
Тогда вектор единичной нормали п имеет вид
а=й (225)
Будем обозначать скорость поверхности в направлении её движения через
D = Dn, D=\D\, (22.6)
т. е. скорость поверхности Sq всегда направлена по нормали к Sq. Вектор D(S), S є Sq, вообще говоря, отличается от вектора скорости у(S) материальной частицы, находящейся в момент времени t в точке S поверхности.
Поскольку равенство (22.4) выполнено при любом t, возьмём полную производную по t от обеих его частей:
| = § + В.*»1в = 0. (22.7)
Разделим (22.7) на |gradg| и учтём равенства (22.5) и (22.6). Тогда получим выражение для модуля скорости поверхности Sq :
D = -MiL (22.8)
|grad#|
Выберем в пространстве некоторый подвижный (жидкий) объём V, который исследуемая поверхность Sq в каждый момент времени делит на два объёма: Vr и Vff (рис. 61).
Обратимся теперь к общей интегральной записи постулатов MCC (14.55): d
dt
padV =
р AdV +
CdV, (22.9)
У У S У
описывающей изменение величины j^padV. Дифференциальным следствием (22.9) является равенство (или равенства, в зависимости от ранга тензора а) (14.58)
= pA + DivB + C. (22.10)
234
Лекция 22
-о» V1
V
Рис. 61
Полагая а, А, В, С такими же, как в (14.59)-(14.63), из (22.9), (22.10) получим интегральные и дифференциальные формулировки всех пяти постулатов МСС.
Воспользуемся леммой о дифференциро-
вании по времени интеграла по жидкому объёму (6.4): d
dt
f(r,t)dV =
%dV+
fvn dS,
(22.11)
v
v
и применим её последовательно к жидким объёмам V' и V" (рис. 61):
d_
dt
d_
dt
/(г, t) dV =
%dV +
У'
У'
XdS+ /7DdS. (22.12)
S0
mt)dv =
д?_
dt
dV +
KdS-
/77DdS. (22.13)
У"
У"
Здесь Vfn и VfJl — значения нормальной составляющей вектора скорости на поверхностях S7 и S77 соответственно.
Выполним предельный переход при V = Vr U Vn —> 0, при этом S7 —> Sq, S77 —> Sq. Обозначим /7 и /7/ предельные значения непрерывной функции /(г, і) при стремлении V —^ 0 со стороны Vr и Vff соответственно. Тогда
K^s
/XdS. (22.14)
?"
Из (22.12)-(22.14) получим
,. d Iim —
v-»o dt
fdV= Hm
I--
У
У
f{v'n-D)dZ +
+ /"«-D)dE. (22.15)
Проделывая ту же процедуру разбиения У на У7 и У77 с последующим устремлением V к нулю в (22.9), где положим
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач
235
ра = /, будем иметь
Iim ^r dt
fdV= Hm pAdV + v-oj
У У E0
+ Iim
к -BfJdY +
CdV; (22.16)
у
Если величины f, А и С ограничены, то все объёмные интегралы в (22.15) и (22.16) стремятся к нулю. Таким образом, в каждой точке поверхности Sq справедливо соотношение для разрывных на Sq функций / (/" — /' = [/]):
/>" -D)- /'« -D) = В" - В'п, (22.17)
называемое условием на поверхности разрыва.
В формулировках каждого из известных постулатов MCC объекты / и В имеют конкретный вид (см. (14.59)-(14.63)). Рассмотрим условия на поверхности разрыва (22.17) применительно к этим постулатам.
1. Для первого постулата (6.8) (закона сохранения массы) / = р, B = 0. Получающееся из (22.17) скалярное соотношение
p"(vn -D) = р'Ып — D) (22.18)
описывает скачок плотности при переходе через поверхность Sq- Если рп < pf, то имеет место скачок разрежения, если
же рп > pf, то скачок уплотнения. Из (22.18) видно, что если VrJl = O (распад разрыва), то vrn < D.
2. Для второго постулата (6.34) (закона об изменении количества движения) / следует заменить на вектор pi7, a Bn на Sn = SjTij = GijTijki. Из (22.17) получим
А'К -D)- P1V1tK -D) = [<7ц\щ, (22.19)
или, используя предыдущий закон (22.18),
p'[vi]K-D) = [oij]nj. (22.20)
3. Для третьего постулата (7.2) (закона об изменении момента количества движения) / заменим на г х рг7, а В на р х Sn:
^ijk(^P ТУ) р XjVfc(vn ^ijk%j [^kml^m- (22.21)
Видно, что три соотношения (22.21) являются лишь следствиями соотношений (22.19).
