Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь уравнения Навье-Стокса (9.54) для течения вязкой несжимаемой жидкости:
= + фщ + Fi. (22.38)
Cit P
Что касается начальных условий, то и для вязкой жидкости они записываются в виде (22.35). Однако в силу того что в уравнениях (22.38) содержатся вторые производные по координатам от вектора скорости, граничных условий на поверхности S будет три. При этом кинематические условия (9.55) (условия прилипания)
< =VJb (22.39)
означают, что на границе S все три компоненты скорости жидкости совпадают с заданными компонентами vjB вектора скорости твёрдого тела, движущегося вместе с S. Статические граничные условия (9.56) выглядят следующим образом:
(22.40)
Разумеется, и здесь можно сформулировать смешанные граничные условия.
Итак, задача о движении вязкой несжимаемой жидкости заключается в отыскании трёх компонент вектора скорости v и давления р из решения трёх уравнений Навье-Стокса (22.38) и уравнения несжимаемости (9.10) при удовлетворении начальным данным (22.35) и граничным условиям (22.39), или (22.40),
240
Лекция 22
или смешанным. В последних двух случаях нужно в граничных условиях использовать определяющие соотношения вязкой жидкости
Vij = -p$ij + 2p\Dij, fi\ = rjp, (22.41)
и выражения
Dij = 2 (Vi>3 vJл)- (22.42)
Постановка задачи линейной теории упругости была уже рассмотрена в лекции 10. Напомним, что для изотропной среды задача заключается в отыскании трёх компонент вектора перемещений и из решения уравнений Ламе (10.36)
сРм ¦
P = + Р)@л + рАщ + рFi, (22.43)
где
в = Ukyк = div и. (22.44)
Так как в уравнения (22.43) входит вторая производная по времени от компонент перемещений, должны выполняться уже два векторных начальных условия при t = 0:
Ui = U0i, = V0i. (22.45)
Кроме того, необходимо удовлетворение кинематических
Uils=U0i, (22.46)
или статических (22.40), или смешанных граничных условий.
Как и в вязкой жидкости, в последних двух случаях должны учитываться определяющие соотношения линейной упругости
a ^ = XOSij + cIfiEij (22.47)
и соотношения Коши
Eij = — (uij Uj^i). (22.48)
В статической или квазистатической задаче теории упругости нужно найти перемещения из решения трёх уравнений равновесия:
(А + р)9^ + /іАщ + pFi = 0, (22.49)
при удовлетворении граничным условиям (2.40) либо (2.46).
Условия на поверхностях разрыва. Постановки краевых задач
241
Отметим важную особенность уравнений равновесия в теории упругости. При выполнении неравенств (10.29) система уравнений (22.49) является системой эллиптического типа, и её никакими предельными переходами нельзя получить из системы уравнений движения (22.43), принадлежащей гиперболическому типу. Однако уравнения параболического типа, к коим относятся уравнения Навье-Стокса (22.38) и уравнение теплопроводности (20.46), при установившемся режиме (течения жидкости или распределения температуры) превращаются в стационарные уравнения эллиптического типа.
16 Б.Е. Победря, Д.В. Георгиевский
Список литературы
1. Амензаде Ю.А. Теория упругости. — М.: Высшая школа, 1976. — 272 с.
2. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная
асимптотика. — JI.: Гидрометеоиздат, 1982. — 255 с.
3. Божидарник В.В., Сулим Г.Т. Елементи теорії пружності. —
Львів: Світ, 1994. — 560 с.
4. Бондарев Е.Н., Дубасов В.Т., Рыжов Ю.А., Свирщевский С.Б., Семенников Н.В. Аэрогидромеханика. — М.: Машиностроение, 1993.
5. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных
сред (в приложении к теории волн). — М.: Наука, 1982. — 335 с.
6. Бриджмен П.У. Анализ размерностей. — Ижевск: РХД, 2001. —
148 с.
7. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир,
1973. - 758 с.
8. Георгиевский Д.В. Тензорно нелинейные эффекты при изотермическом деформировании сплошных сред // Успехи механики. —
2002. Т. 1, №2. - С. 150-176.
9. Георгиевский Д.В., Победря Б.Е. О числе независимых уравнений совместности в механике деформируемого твёрдого тела // ПММ. - 2004. - Т. 68. Вып. 6. - С. 1043-1048.
10. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. — М.: Наука,
1978. - 303 с.
11. Голубева О.В. Курс механики сплошных сред. — М.: Высшая школа, 1972. — 368 с.
12. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. — М.: Мир, 1965. — 456 с.
13. Гринченко В.Т., У литко А.Ф., Шульга Н.А. Механика связанных полей в элементах конструкций. Т. 5. Электромагнитоупру-гость. — Киев: Наукова думка, 1989. — 279 с.
14. Гроот С. де, Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964.
15. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990. — 312 с.
16. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. - М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 272 с.
Список литературы
243
17. Ильюшин А.А., Ленский B.C. Сопротивление материалов. — М.: Физматгиз. — 371 с.
18. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. — М.: Изд-во Моск. ун-та,
