Основы механики сплошной среды - Победря Б.Е.
ISBN 5-9221-0649-Х
Скачать (прямая ссылка):
Vij — Vji = Vjj LOij — ~^{vi,j H- Vj^i), (2.32)
и называть компонентами тензора скоростей деформаций.
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами Axi, рёбра которого лежат на координатных
осях прямоугольной декартовой системы с ортами ki (рис. 13).
Рис. 13
Объём AV этого параллелепипеда равен ДжіДа^Джз. Бесконечно малый объём AV удобно записать в виде
AV = dxі dx2 dx3. (2.33)
Объём V, занимаемый сплошной средой, будем обозначать V:
Элементы векторного анализа
27
Наряду с координатными элементами объёма будем также рассматривать координатные элементы площади 6? [36]:
dEa = (Ixpdx1 (а ф (3, /3 ^ 7, 7 / а). (2.35)
Для площадки dY (рис. 13), проходящей через точки А\, А2, А%, с единичной внешней нормалью п можно записать
dTi = dYiUiki = dH k{ = (2.36)
Следовательно,
dYj = dx\dx2 к3 + dx^dx^ к\ + dx^dx\ к^ =
= (dx 1 к\ — dx3 ^з) х (dx2 ^2 — dx% к$) = 6? x db\, (2.37)
т. e. векторный элемент площади dS есть векторное произведение образующих эту площадь векторов 6? и db\, изображённых на рис. 13.
Элементарным потоком dV поля а(хі,Ж2,хз) через векторный элемент площади dY назовём скалярную величину
dV = а - dY, = CLidYii, или dP = a^rfE, (2.38)
где = a • п — проекция а на нормаль, или нормальная составляющая вектора а на площадке
Пусть теперь У — некоторая область в M3 с границей OV = = Е, на которой определена внешняя единичная нормаль п (рис. 14). Пусть в V определено векторное поле а(хі,Ж2,хз).
Рис. 14
28
Лекция 2
По формуле Ньютона-Лейбница для первой компоненты а\(х\,х2,хз) можно записать
Xl
а і =
7г— dx і + аі(жю).
UX1
(2.39)
Xio
Умножим обе части (2.39) на координатный элемент площади dE\, равный согласно (2.35) dx^dx^.
Xl
CL\dTt\ =
dx\ ] dx2dxs + a\(x\o)dx2dx3.
Xio
Проинтегрировав равенство (2.40), получим
да і
a\dYj\ =
у
дх\
dV.
(2.40)
(2.41)
Соотношение, аналогичное (2.41), справедливо и для двух других компонент а2, аз вектора а. Поэтому
dV =
CLidlZi =
У
дах . да2 да3 .
я------а-------h я- I dV =
OX \ OX 2 OX 3
div a dV. (2.42)
V
Подставляя из (2.38) связь dV с е?Е, окончательно получим формулу Остроградского—Гаусса:
AivadV,
(2.43)
у
т. е. объёмный интеграл от дивергенции векторного поля равен интегралу по поверхности этого объёма от скалярного произведения самого поля и единичной нормали к поверхности.
Левая часть (2.42) представляет собой поток V векторного поля а через всю границу S (рис. 15). Таким образом,
dV = AivadV, или
dV
diva = —, (2.44)
откуда следует, что дивергенция векторного поля есть изменение потока в единице объёма. В этом состоит механический смысл дифференциального оператора div, определённого в (2.21).
Элементы векторного анализа
29
а{х 1,ж2,ж3)
Рис. 15
Из (2.42) видно, что для соленоидального векторного поля поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Отметим также, что все предыдущие рассуждения и формула Остроградского-Гаусса имеют место и для нестационарного векторного поля а(х\, Х2, #з, t) в каждый момент времени t.
Пусть теперь а является полем скоростей v(x\,x2,x^) в теле V, так что
Если V потенциально и Lp — скалярный потенциал, то, подставляя равенство V= gradLp=VLp в (2.45), получим для Lp первую формулу Грина:
Здесь Аф — оператор Лапласа, определённый в (2.26).
Величина дс/д1, равная скалярному произведению градиента поля с на единичный вектор /, соответствующий некоторому направлению в пространстве, называется производной с по этому направлению. Таким образом, под знаком поверхностного интеграла в (2.46) стоит производная Lp по нормали, или нормальная производная Lp, в точках поверхности S (она обозначена д(р/дп).
Представим далее скорость в виде v = Lp\ grad Lp2, или, покомпонентно: Vi = LpxdiLp2, и подставим в (2.45). Получим
V = v-dZ= Vi-n^dY*= di YvdV= V-vdV. (2.45)
V-VipdV= A ^pdV. (2.46)
г
зо
Лекция 2
вторую формулу Грина: дір2
Ч>\
дп
dS =
V
(¦di(p\di(p2 + Pididi(P2) dV =
(grad ірі • grad (p2 + tp\Aip2) dV. (2.47)
у
Записав вторую формулу Грина для v = Lp2 grad (р\ и вычитая её из (2.47), получим
W
д(р2 дірі
дп
Ч>2'
дп
dS =
((PiAifi2 - Lp2ALpi) dV. (2.48)
у
Соотношение (2.48) носит название третьей формулы Грина.
Рассмотрим в качестве примера потенциальное течение со скалярным потенциалом
Lp = — -—, Q = const,
4тгг
г = ^Jx2x + х\ + ж3 = ^XiXi. (2.49)
Найдём линии тока и эквипотенциальные поверхности, а также поток вектора скорости через поверхность сферы Sa: г = а.
Эквипотенциальными поверхностями (поверхностями Lp = const) для течения (2.49) являются концентрические сферы г = const с центром в точке О (рис. 16). Следовательно, линиями тока будут лучи, исходящие из точки О. Действительно, найдём поле скоростей:
dip Q dr Q Xi Qxi
Vj-
dxj Anr2 dxj
Аттг2 г 47гг3 (2.50)
Компоненты щ единичной внешней нормали к поверхности сферы Sa будут направляющими косинусами радиуса-вектора, т. е. щ = Xi/а. Тогда
