Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
полевых уравнений, важных в нелинейной физике.
Перед тем как завершить этот раздел, я хочу рассказать об одном колоссе,
В. Е. Захарове. В скольких областях внес он свой вклад - уравнение
Захарова в физике плазмы, его статьи с А. Б. Шабатом, в которых впервые
был дан общий метод построения пар Лакса для уравнений с более чем одним
пространственным измерением, его работа по самофокусировке и его статья в
сборнике, изданном Буллафом и Кодри [113] (см. ссылки на "метод одевания"
- построения иерархий решений). Вы будете здесь часто встречать его имя.
П. Чудеса солитонов и необходимость создания объединяющей точки зрения.
Вместе с конструктивными методами построения решений (МОЗР,
преобразования Бэклунда, метод Хироты) был открыт целый новый мир
интегрируемых систем. Метод Хироты [34], который я упомянул во введении,
чрезвычайно остроумен. Для уравнения КдФ он сводится к замене
где Dx, Dt - введенные им новые дифференциальные операторы. Обозначения я
объясню в гл. 4. Из (1.53), (1.54) довольно просто могут быть получены А-
солитонные н рациональные решения, если взять x(x,t) в виде суммы
экспонент, фазы которых линейно зависят от х и t, а также содержат
произвольные константы (которые оказываются вышеупомянутыми сдвигами
фаз). Для А > 2 уравнения на константы являются переопределенными, но
совместными. Что обеспечивает эту совместность? Уравнение {DxDt + Dx) т •
т - 0 имеет аналогичные свойства. Однако {DxDt + Dx) т • т = 0 имеет
только двухсолитонные ре-
Вначале метод Хироты рассматривался в основном как хитроумный трюк,
придуманный для нахождения решений солитонных уравнений. Было даже такое
рабочее определение интегрируемых уравнений: пошлите ваше уравнение
Хироте; если вы его получите решенным в течение трех недель, то оно
q(x, t) = 2-^-1пт(х, О,
(1.52)
(1.53)
(1.54)
шения.
48 Глава 1
интегрируемо. Однако недавно обнаруженные связи с квантовой теорией поля
и статистической физикой показывают, что метод Хироты играет гораздо
более существенную роль в теории, чем полагали раньше. Я надеюсь
продемонстрировать в этих лекциях один способ, с помощью которого метод
Хироты может быть связан с общей теорией. Я предполагаю также показать
ясную его связь со свойством Пенлеве [35], которому должны удовлетворять
интегрируемые системы. Это свойство, которое я буду обсуждать в гл. 4,
состоит в том, что единственными особенностями интегрируемых систем,
которые не фиксированы и могут зависеть от начальных данных, являются
полюса. Это почти эквивалентно утверждению (не совсем, так как бывают
неподвижные особенности с весьма неприятными свойствами), что т-функция
Хироты аналитична по всем своим переменным. И действительно, как мы
покажем, для некоторых классов решений это так.
Что же тогда можно назвать общей теорией? Что это за структура,
связывающая воедино все возникающие в солитон-ной математике чудеса?
Чудеса включают: бесконечное число законов сохранения, принадлежность
бесконечному семейству коммутирующих потоков (я объясню этот термин в гл.
3), гамильтонову структуру, формулировку Хироты и т-функцию, свойство
Пенлеве, связь с линейной задачей на собственные значения, обратное
рассеяние, изоспектральную, изориманову поверхность, изомонодромные
(последние два термина еще должны быть объяснены) деформации [36],
преобразования Бэклунда.
Связующее звено, я полагаю, связано со следующим вопросом: если дано
эволюционное уравнение, как можно определить, интегрируемо ли оно и
обладает ли всеми этими замечательными свойствами? Первыми, кто дал
достаточно разумный ответ на этот вопрос, были Уолквист и Эстабрук [37],
и свою версию того, что они сделали, я опишу в гл. 5. По существу, они
пытаются представить интересующее их эволюционное уравнение в виде
условия интегрируемости двух линейных уравнений, содержащих неизвестную
переменную и ее производные по х в качестве коэффициентов. В итоге они
получают бесконечномерную алгебру, или, иными словами, незамкнутый набор
коммутационных соотношений.
Наше утверждение (моими коллегами в этой работе были Германн Флашка и
Тюдор Ратиу) состоит в том, что метод Уолквиста - Эстабрука указывает на
то, что истинным фазовым пространством, на котором живут все потоки,
является бесконечномерная алгебра Ли, которая для одномерных задач
изоморфна алгебре Каца - Муди. Эта алгебра может быть
История солитона 49
представлена как прямая сумма двух подалгебр, ортогональное дополнение к
каждой из которых дуально к другой. На дуальной алгебре есть естественные
динамические структуры - скобки Пуассона и гамильтоново векторное поле.
Частный класс гамильтонианов порождает набор коммутирующих потоков, и
каждый такой поток является вполне интегрируемым уравнением1). Важно
подчеркнуть, что интегрируемые эволюционные уравнения всегда возникают
как члены бесконечного семейства. Многие свойства из списка чудес
оказываются естественными следствиями этого факта [38], и мы с двух точек
