Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Л* + е(ФхТ])х = -7ф^' У=1' (2-10)
где теперь
Т % = -F" О + h) +1 Fxxxx (1 + hf - eFxhx.
Фундаментальная разница между этими двумя пределами состоит в том, что
дисперсия, входящая в виде высших производных F, входит таким образом,
что может уравновесить стремление волны обрушиться. Принимая u = Fx (и -
единственная горизонтальная компонента скорости в главном порядке, так
как фx = Fx - (е/2) (у + К) 2FXXX + О (г2)), мы после дифференци-
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза
65
рования (2.9) по л: получаем
ut + r\x = e^jD2uxxt - uuxy (2.11)
т\{ + (Ои)х = е(^ГРиххх - (иг\)хУ (2.12)
где D = 1 + h. (Напомним, что (рх(у-1) = и- е(Л2/2)ихх +
+ 0(е2).) Эти уравнения описывают движение жидкости с вол-
нами, идущими как вправо, так и влево, однако, если искать решения
(2.11), распространяющиеся только в одну сторону, можно в пределе
получить более простое уравнение КдФ- Очень важно использовать правильные
характеристики
х
в± = Т< + |5-^г, (2.13)
где X = ex. Из (2.11) и (2.12) можно получить одно уравнение для F,
интегрируя (2.11) или разрешая (2.9):
Ч = -ф*-4е<р2.
Подставляя (2.7) в (2.12), получаем
Ftt - (DFX)X = -2eFxFxt - eFtFxx + e-y F****. (2.14)
Теперь уже нетрудно вывести уравнение, описывающее поведение F на больших
расстояниях. Во-первых, положим D= 1. Далее, будем решать (2.14)
итерациями (аналогичная процедура использовалась в разд. 1с). Положим F =
f-\-eFi+ ... , где f = f((r)+ = -t-\-x, Х = ех). Тогда в главном порядке
(2.14) будет удовлетворено, а члены порядка 0(e) приведут к уравнению для
F\ (полагаем 0+ = 0)
F\tt ~ Fих = -4 = 2/е;х + 3/е/ее + у /ееее,
где 0_ = /-f-x. Член 2/е* возник из Fxx и учитывает слабую зависимость f
от X. Так как правая часть этого уравнения не зависит от 0_, F\ будет
линейной функцией 0_, если только f не будет удовлетворять уравнению
2/ех + 3/е/ее + у /веее = 0. (2.15)
Теперь, если D не константа, а зависит от X - ех, вся процедура останется
точно такой же, если только пользоваться правильными характеристическими
координатами 0+ и 0_, определенными в (2.13). Я оставляю читателю в
качестве упражнения
56 Глава 2
показать, что для исключения секулярного роста F\, где F\ - = f(0+,
Х)+е/г1+ необходимо выполнение условия
+ &ЯЯе + Явт - - 'If'Tr Я> (2.16)
где мы написали 0 вместо 0+,
fe = ^D% (2.17)
и т выражается через расстояние X по формуле
х
т = 1 ^D42dX. (2.18)
Мы будем называть (2.16) возмущенным уравнением КдФ, или вКдФ.
Следует сделать несколько замечаний. Во-первых, заметим, что избранная
нами форма записи уравнения является эволюционной по х, а
не по t для профиля q(т, 0), зависящего от (от-
рицательного) времени с запаздыванием,
°~'+vS-?-
Если D постоянно, одинаково удобно использовать и t, и х как эволюционную
переменную. Если, однако, среда сама зависит от х, необходимо
использовать последнюю. Одна из проблем, которую мы будем позже
достаточно подробно анализировать, формулируется следующим образом: если
при х = 0 задано q как функция t, обращающаяся в нуль при t-*-±оо, найти
q(x, t) для всех х ^ 0.
Во-вторых, мы покажем, что для того, чтобы считать правую
часть (2.16) возмущением, необходимо, чтобы Dx/D было по-
рядка а-С 1. Однако, как мы помним, мы уже пренебрегли членами порядка е2
в уравнениях (2.11), (2.12), и поэтому мы должны потребовать
8<с < 1. (2.19)
В-третьих, рассмотрим поток массы через сечение х в зависимости от
времени. Из самих уравнений получаем
1+ет)
J ййу = -т\ь (2.20)
-ft
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 57
где /7 - (р* - это истинная горизонтальная скорость. Таким образом, если
массы при / = -|-<х> и -<х> совпадают, получаем
оо 1+ет> v
**)"*• <2'21)
и в главном порядке это означает, что
00
- J Dudt = 0 (2.22)
- 00
с u = Fx. Теперь заметим, что из (2.16) можно увидеть, что
ОО
\ DWqdQ = 0, (2.23)
- ОО
или, возвращаясь к координатам х и t,
ОО
J D3fiudt - 0. (2.24)
- 00
Это означает, что вКдФ не сохраняет полный поток массы через заданное
сечение. Объясняется это тем, что происходит отражение части воды.
Поэтому для корректного анализа влияния переменной
глубины следует рассматривать также движе-
ния противоположного направления. Мы сделаем это, когда будем разбирать
распространение уединенной волны в сторону берега.
В-четвертых, выведем закон Грина, известный уже около 150 лет. Представим
себе линейную волну, входящую в область медленного изменения глубины.
Тогда уравнение, описывающее эволюцию ее амплитуды q, дается (2.16) без
двух последних членов в левой части. Результат состоит в том, что D9/iq,
Dz/iu и (напомним, что т) ~ -дц ~ Г>~1/2ф*) зависят только от
0 и поэтому не меняются вдоль истинных характеристик.
Теперь мы можем описать, как надо работать с уравнением
(2.16) и с полной двухволновой задачей (2.11), (2.12). Вообразим
следующую ситуацию. Уединенная волна qs амплитуды т]о появляется в момент
времени 1 = 0 в точке х - 0, в которой начинает изменяться невозмущенная
глубина. Уединенная волна будет адиабатически изменяться (т. е. будет
