Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
естественно спросить: если потенциал -q(x,t) эволюционирует в
соответствии с уравнением КдФ
Яг + ЪяЯх + Яххх = 0, (1.21)
то как меняются X(t) и <p(x, t)? Мы рассмотрим случай, когда q определено
на всей вещественной прямой, -оо < х < оо, и q
История солитона 37
обращается в нуль вместе со всеми своими производными в ±°°. Это можно
сделать, подставив q из (1.15) в (1.21). Путем прямой подстановки
получаем
W + (<PQX - <PxQ)x = 0, (1.22)
где Q = <p< - фххх - 3(А, - Если <р квадратично интегрируема и обращается
в нуль при х-"-±оо, то kt = 0. Таким образом, дискретные собственные
значения кп < 0, п= 1,2 N
уравнения (1.15) - интегралы движения. Оставшаяся часть (1.22) дает
Sdx
(Е23)
и, так как ф обращается в нуль в ± ">, ?> = 0. Мы примем такую нормировку
собственных функций связанных состояний Ф", что ф" ~ exp V- * при х -*¦ -
оо. Таким образом, Сп - = 4 (-Л")3/2, и если фп ~ bn (t) exp(- Ух) при х-
*+оо, то
bnt = 8(-kn)^bn (1.24)
и bn(i) - bn{0)ехр(8(-%п)ъ1Ч). Для А, = ?2>0 решение (1.15) при больших
|х| представляется линейной комбинацией из Мы наложим на ф граничные
условия
Ф ~ g-'S*+ /?(?, f) при х-"-оо, (1.25а)
~7'(?, t) е~*х, х -> - оо. (1.25Ь)
При обычной квантовомеханической интерпретации (1.15) коэффициенты
единица в (1.25а) и (подразумеваемый) нуль в (1.25Ь) указывают на
заданное стационарное излучение, исходящее только из х = +оо.
Коэффициенты прохождения Tfat) и отражения R(t,t) удовлетворяют, как
будет показано в гл. 3, условию ITl2-}- |^?|2 = 1. Спектр для к >• 0
непрерывен, и мы можем считать к константой, так что вновь справедливо
(1.23) при условии D = 0. Поскольку мы приняли нормировку ф на +°о, С =
4/?3. Подставляя (1.25а, Ь), получаем
Tt (С, 0 = 0, Rt (?, 0 = 8PR (?, t). (1.26)
Это означает, что коэффициент прохождения как функция ? является
интегралом движения, а коэффициент отражения R (?, t) эволюционирует
очень просто - от времени зависит только его фаза, причем линейно.
С начала 1950-х гг. было известно, что потенциал -q(x) уравнения
Шрёдингера может быть полностью восстановлен по так называемым данным
рассеяния
5=={(Лл" bn)i> Я (С), ? вещественно}. (1.27)
38
Глава 1
По 5 может быть вычислен также и коэффициент прохождения Т(%). Но если
известны данные рассеяния 5 для q(x, 0) при t = 0, то (1.24) и (1.26)
позволяют нам вычислить S{t) очень просто. Следовательно, q{x,t) может
быть найдено для любого времени t. Процедура восстановления потенциала
включает решение линейного интегрального уравнения, уравнения Гельфан-да
- Левитана - Марченко. Эта и многие другие детали будут выведены в гл. 3.
А сейчас заметим, что общее решение (1.21) включает несколько компонент.
Солитоны, распространяющиеся с положительной скоростью, являются
физическим проявлением дискретного спектра, каждый солитон соответствует
одному собственному значению. Вне области взаимодействия (при t = = ±°°)
каждый солитон имеет высоту, ширину и скорость, пропорциональные -Хп, V-V
и -соответственно. Его положение в любой момент времени может быть
вычислено с помощью Ьп• Непрерывному спектру соответствует компонента
решения, которая, хотя и нелинейна, имеет многие характерные черты
решения линеаризованного уравнения (1.32). Амплитуда группы волн,
связанной с волновым числом 5, измеряется величиной |/?(5)|, а ее
положение - величиной Arg ./?(?). Вблизи х - 0 эти два решения
объединяются. Это решение включает, помимо всего прочего, автомодельное
решение уравнения (1.21) и является довольно сложным, но в основном
играет роль нелинейной функции Эйри (Джон Грин любит морально-религиозную
трактовку двух компонент решения, в которой солитоны- это душа решения, а
компонента, возникающая из непрерывного спектра - это бренная плоть. Я
полагаю, что от вашей точки зрения зависит, какая из компонент
заслуживает называться хорошей). Если рассматривать различные компоненты
решения как нормальные моды нелинейной системы - и такое рассмотрение
полезно, - то следует специально выделить солй-тонную часть, поскольку
она является полностью новой и не имеет линейного аналога.
Итак, суть применения МОЗР состоит в следующем. Интересующее нас
уравнение
переписывается как условие интегрируемости двух линейных уравнений,
4t + $ЯЯх + Яххх = о
(1.28)
(-L + 1)фэФ;цф(Н(/ (х, /)) ф = 0
(1.29)
и
ф< = Дф = -4фххх - З^ф - бдо* -f Сф = (1.30а)
- (Ях + С) ф + 4 (X - q/2) qp*
(1.30Ь)
История солитона 39
(где С определяется по выбранной для <р(х,/;?) нормировке). Затем <7(*,0)
отображается в данные рассеяния 5(0) уравнения (1.29). Эволюция S(t)
проста и описывается линейно. Зная 5(0, мы восстанавливаем q(x,t).
Схематически это выглядит так:
q (х, 0) -> прямое преобразование -> 5 (0)
временная
эволюция /¦, ni\
данных 11.01 ^
рассеяния
q (х, 0 обратное преобразование ¦*- 5 (t).
Процедура полностью аналогична тому, как решается линеаризованный вариант
уравнения (1.28),
<7< + <7*** - 0, (1-32)
с помощью преобразования Фурье. Роль прямого преобразования здесь
