Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
физических ситуациях, я предлагаю читателю анализ каждой из ситуаций в
простейшей нетривиальной постановке, подчеркивая те аспекты, которые
отличают одну ситуацию от другой, и затем указывая читателю на
соответствующие работы.
82
Глава 2
Я хочу также ввести некоторые связанные с этим уравнением понятия и
показать их связь с НУШ. В частности, мы увидим, как получать НУШ
предельным переходом из теории Уизема, предназначенной для описания
эволюции полностью нелинейных волновых пакетов в слабо изменяющихся
условиях. Этот предел не вполне тривиален и не очень известен в
литературе. Мы также познакомимся с эффектами большего числа
пространственных измерений. В противоречии с обычной нашей интуицией
замена в (2.1) д2/дх2 на V2 при знаке плюс перед нелинейностью приводит к
усилению фокусирующих свойств уравнения до такой степени, что решения
становятся локально неограниченными за конечное время. Это явление
фокусировки широко распространено в физике и встречается в плазме в виде
коллапса ленгмюровских волн и в оптике при самофокусировке. Естественно,
что когда амплитуда пакета и величина, обратная его ширине, становятся
очень большими, теряют применимость те предположения, в которых были
выведены уравнения, и требуется новое описание. Тем не менее уравнение
все же описывает начальную стадию процесса локальной самофокусировки
волн.
2Ь. Длинные волны малой амплитуды в канале слабо меняющейся глубины.
Уравнения типа КдФ [41], [42], [43].
В этом разделе мы возвращаемся к модели, с которой все началось. Мы хотим
аккуратно вывести уравнения КдФ для волн на воде. Следуя статье Джонсона
[44], мы включим также влияние слабо меняющейся глубины и коснемся
методов решения возникающего в результате возмущенного уравнения
Кортевега- де Фриза. В конце раздела сделаны некоторые замечания об
уравнении Буссинеска (двухволновом) и Кадомцева - Петвиашвили
(слабодвумерном КдФ).
Рассмотрим следующую ситуацию, изображенную на рис. 2. (Отношение
масштабов амплитуды и длины возмущения сильно изменено так, чтобы на
рисунке поместилось все необходимое.) Рассмотрим двумерное безвихревое
поле скорости U (х, у, t) жидкости в односвязной области, ограниченной
независящей от времени границей у = -Н(х) и свободной поверхностью у = =
hoN(х, t). Условия на концах х = -се, -{-оо останутся пока
неопределенными, но мы будем представлять себе, что в этих точках глубина
жидкости постоянна. Мы также введем потенциал скорости U = Уф.
Предположим также, что рассматриваемые возмущения имеют следующие
свойства. Их горизонтальный размер I велик по сравнению со средней
глубиной А0: е = А2//2<С1. Их амплитуда а мала по сравнению со средней
глубиной h0, так
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 53
что a/ho = р <С 1. Интересующее нас явление происходит, когда эти две
величины одного порядка. Кроме того, расстояния, на которых дно заметно
меняется (на величину порядка единицы) больше I. Помня все это,
обезразмерим зависимые и независимые переменные следующим образом:
x^-lx, у -*¦ hoy, t^--}= t,
^0 (2.2)
Я -> h0h, N - ar\, q> -> 1 л/gho <р.
По
Здесь g - ускорение силы тяжести, и в соответствии с последним
предположением мы полагаем, что hx = ehx, X - ex и hx
Рис. 2. Уединенные волны, распространяющиеся по каналу переменной
глубины.
самое большее порядка единицы. В этих безразмерных переменных уравнение
неразрывности, граничное условие на нормальную скорость при у = -Л,
условие непрерывности нормального напряжения (давления) на свободной
поверхности, записанное с использованием уравнения Бернулли, и
кинематическое граничное условие на свободной поверхности, состоящее в
равенстве нормальной скорости жидкой частицы на поверхности нормальной
скорости самой поверхности, примут следующий вид (нижние индексы
обозначают частные производные):
Фуу + Щхх = 0, (2.3)
Ф у = -г%х фх, у = -А, (2.4)
ф, + П + 1-W| + 'J'F<P"==0' + (2.5)
,П/ + ИФЛ = 4'<Р"" г/=1+ЦТ]. (2.6)
54
Глава 2
Решение получается разложением потенциала в (2.3) в степенной ряд по у
(более удобно по (y-fh)). Используя (2.4), получаем
Ф (х, у, t) - F (х, t)~Y Fxx (У + hf +
+ е2 Fxxxx (У + hf - hKFx {y + h))+.... (2.7)
Выведем сначала уравнения мелкой воды, получающиеся при 8->0 и конечных
р. Из (2.7)
-7 Фу = -Fxx (1 + РЛ + h) - Fxhx,
где мы записали hx вместо ehx. Теперь рассмотрим предел е-*-0 и положим
флг = и. Для (2.5) и (2.6) получаем
ut + [iuux + Цх = О"
я, + ((1+Л + ^").-о, М
т. е. уравнения мелкой воды. (В решеточной модели этот предел
соответствует нулевому расстоянию между массами.) Хорошо известно, что
для большинства начальных условий за конечное время происходит
образование ударного фронта, на котором у]х и их становятся бесконечными
за конечное время.
Однако для нас интересен предел, когда нелинейность, измеряемая р,
и дисперсия, измеряемая е, малы и уравновеши-
вают друг друга. Полагая р = е и разлагая (2.5) и (2.6) вблизи у = 1,
получаем
ф, + Л + у eq? = °, у== 1, (2.9)
