Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
приближении система является гиперболической с несовпадающими
характеристическими скоростями, то малые отклонения соответствующего
инварианта Римана вблизи каждого характеристического направления
описываются уравнением КдФ. Однако если две эти характеристические
скорости близки, то эволюции вдоль них не могут рассматриваться по
отдельности. Очень просто показать, что поведение на больших временах
решений уравнения
d - (с ~ Ve) -?г) (jf + (c + Ve) 4r) и =
/- ди д*и . д*и
= eV8lTl^ + elF
действительно описывается уравнением Буссинеска. В системе отсчета,
движущейся с промежуточной скоростью с, эволюция поля и как функция от X
= х - ct и описывается
уравнением (2.26). Причина того, что нелинейный член должен быть выбран
меньше дисперсионного, состоит в том, что начальная амплитуда должна
увеличиться в l/л/г раз за счет начального резонанса (в главном порядке
(d/dt + сд/дх)2и=0), прежде чем вступят в игру нелинейность и дисперсия.
В качестве последнего замечания в этом разделе, посмотрим, что
произойдет, если в задаче о волнах на воде или в решетке допустить слабую
зависимость от другой горизонтальной координаты, которую мы будем
обозначать г. Это приведет к появлению в левых частях (2.14) и (1.3)
дополнительных членов, пропорциональных -eFzz и -ec2yzz соответственно.
Не составляет труда показать, что соответствующее (1.6) каноническое
уравнение, описывающее поведение на больших временах, теперь будет иметь
вид
fzz + 7^г + f\f\\ + Ь%ж = 0.
Если положить fi = 6u, т = сТ/2 и принять б2 = 1, то его можно записать в
другом виде:
игг + (их + 6мМ| + ищ) = 0. (2,27)
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 61
Уравнение (2.27) известно как уравнение Кадомцева - Петви-ашвили и также
обладает рядом замечательных свойств.
Упражнения 2Ь
1. Выведите уравнение для длинных волн в решетке для случаев, когда
возвращающая сила имеет вид F = k{A-\- а Л3). Вы обнаружите, что
соответствующее уравнение - это модифицированное уравнение Кортевега - де
Фриза (мКдФ). Исследуйте его решения, имеющие вид бегущих волн. Зависит
ли их существование от знака а?
2. Оказывается, что комплексный вариант мКдФ - тоже универсальное
уравнение в том смысле, что оно возникает во многих асимптотических
задачах. Одна из них - это задача о низших гибридных волнах в плазме.
Читателю рекомендуется обратиться к ссылкам в [118], и в
частности к статье Г. Дж. Моралеса и И. Ц. Ли
"Солитоноподобные структуры в плазме"
в Rocky Mountain J. Math., 8, 1, 2, зима, весна 1978.
3. Покажите, что асимптотическое по пространству и времени поведение поля
u(x - ct, Vе t или 's/ex), подчиняющегося уравнению
+ (¦!¦ + (* +VS)-?¦)" =
V- du d*u . d*u
6?1F+'F'
задается уравнением Буссинеска. Можете ли вы указать какой-либо
конкретный пример, который приводил бы к этому уравнению1)? Найдите также
стационарные волны в (2.26). Чем они отличаются от аналогичных решений
КдФ?
4. Рассмотрите двумерную решеточную модель, в которой каждая масса
связана с двумя типами соседей - правым, левым и верхним, нижним. Если
упругая постоянная kj. вертикальных пружин намного меньше постоянной k
горизонтальных пружин и одного порядка с квадратичной нелинейностью а
последних, то если к± ~ а ~ И.2, где h - смещения решеточных масс, то
уравнение для слегка наклонных, распространяющихся вправо или влево волн
в этой решетке будет уравнением Кадомцева - Петвиашвили. Будьте
осторожны. Помните, что в закон Гука входит удлинение пружин, а не его
вертикальные или горизонтальные составляющие. Найдите бегущие волны для
этой модели. Как они связаны с бегущими волнами КдФ?
') После того как я задал этот вопрос на лекциях ИВМС, Ц.Х.Сю нашел такой
пример [49].
62 Глава 2
2с. Нелинейное уравнение Шрёдингера и другие уравнения для огибающих.
Лучше всего начать с простого примера. Рассмотрим описанную в гл. 1
модель Скотта, состоящую из работающей на кручение проволоки с
вертикально подвешенными к ней и очень близко друг к другу расположенными
связанными маятниками, которые могут вращаться в вертикальной плоскости
вокруг линии подвеса. Если u(x,t) - угол поворота маятника в точке х, то
его движение описывается уравнением sin-Гордон
ип - с2ихх + со2 sin и = 0, (2.28)
где сила - со2 sin и возникает вследствие действия силы тяжести, а сила
с2ихх моделирует влияние кручения. Теперь вообразим, что мы колеблем один
конец цепочки маятников с очень малой амплитудой и частотой о. Достаточно
разумно предположить, что можно исследовать возникающее в результате
движение, разлагая sin и в ряд Тейлора вокруг и = 0. Удерживая первые два
члена, получаем
(О2
Utt - с2ихх + 0)2ц = -^-цЗ_|_ , (2.29)
Линеаризованное уравнение допускает гармонические решения и = е~ш+1кх,
где k вещественно, и определяется дисперсионным соотношением
0)2 = а>2 + с2?2, (2.30)
если только со > сор. При о < сор величина k является чисто мнимой, и
начальные колебания экспоненциально затухают по х. Предположим, что со >
сор, так что вдоль струны (из маятников) распространяются настоящие
