Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
выполняет
оо
b(k, 0 = -^- ^ t) e~{kxdx, (1.33)
¦-оо
и b(k, 0) известно, если задано q(x, 0); временная эволюция задается
уравнением
bt(k, t) - ik3b (k, t). (1.34)
Обратным преобразованием является
оо
q(x, t)= jj b(k, t)eikxdx. (1.35)
- oo
В самом деле, мы покажем, что МОЗР в линейном пределе сводится к
преобразованию Фурье.
Нам известно также, что мы можем интерпретировать и (1.28), и (1.32) как
бесконечномерные гамильтоновы системы; каждую из них формально можно
записать в виде
(1*36)
где б/б<7 - вариационная производная функционала Гамильтона Н [<7], т. е.
оо
lim \{H[q + гЩ - Н fo]) = \ bqdx.
?->0 С J
40 Глава 1
Уравнение (1.36) аналогично выражению
z - JVH (z), (1.37)
справедливому для конечномерных систем. Здесь z есть 2Я-век-тор (т. е.
<7ь • ••> Ян, ри •••> Рн), J - антисимметричная матрица
(например, (_/^о^)) и V -оператор градиента (d/dqu ...
...,д/дрц)- В (1.36) q(x) следует рассматривать как бесконечномерный
вектор, д/дх - это заменяющий матрицу кососимметричный оператор и 6/6<7 -
вариационная производная, заменяющая оператор градиента. Соответствующая
сохраняемая потоком два-форма X ^Pi есть
Y jj 6я(х)л{ ^ bq{y)dy\dx. (1.38а)
-оо \-оо /
X
Интеграл ^ - это оператор, обратный к J, где J - д/дх. Функция Пуассона
двух функций F и G есть
ю °)= I ъ-ъгъ**- (1'38ь)
-оо
00
Для (1.21) гамильтониан # = § (тг Я2Х ~' <73) dx; для (1.32) Я =
"00
00
= ^ -^q2xdx. Преобразование Фурье - это каноническое преоб-"00
разование, связывающее старые координаты q(x), -оо <; х <оо и новые A =
2n\b\2/k, 6 = Argb(k,t), в которых два-форма (1.38)
ОО X ч ОО
J 5 \ bqdy\dx=^bA(k)AbQ(k)dk (1.39)
- оо \-оо / О
сохраняется1) (читателю следует проверить (1.39) самостоятельно); для
тех, кто не знаком с обозначениями, bqAbw означает 6iqb2W - 62961IW, где
61 и 62 - независимые вариации.
') Вопрос о перенесении скобки Гарднера на функционалы с неубывающими при
х->-±<х> плотностями решается в работе Фаддеева и Тахтад-жяна [1*].
Скобки Гарднера и Фаддеева-Тахтаджяна не каноничны в k = 0. Каноническая
скобка для КдФ построена в работе Аркадьева, По-гребкова и Поливанова
[2*]. Скобка Фаддеева - Тахтаджяна получается из канонической наложением
связи. - Прим. перев.
История солитона 41
В (1.39), так как wx = q, не следует рассматривать q(x) и
X
w(х) =¦¦ ^ q(y)dy как сопряженные переменные. Скорее, еле-
- оо
дует смотреть на (1.39) как на непрерывный предел выражения
у ^6<7,л ^ bqf. С другой стороны, новые координаты А и0 яв-t 1<1
ляются сопряженными. Из (1.34) имеем
At = 0, 0, = /г3, (1.40)
что суть уравнения Гамильтона
Л - ьн fl - ьн
* 60" ' - ~ЬА'
где
оо оо
Н =у J qldx = ±\&A4k)dk.
Точно так же обратное преобразование рассеяния является каноническим
преобразованием, связывающим старые координаты (q(х), -с" <С х <С оо) с
новыми - данными рассеяния S, заданными по (1.27).
Гарднер [13] первым осознал, что уравнение КдФ может быть записано в
гамильтоновом виде. Впоследствии Захаров и Фаддеев [13] показали, что это
уравнение может быть интерпретировано как полностью интегрируемая
гамильтонова система. Для конечномерной системы размерности 2N термин
полная интегрируемость означает, что система обладает N независимыми
интегралами движения Fj(p,q) (р = (р\, ..., pN), q = = (qi, ..., <7w)),
}= 1, ..., N, которые находятся в инволюции по отношению к скобке
Пуассона. В этом случае можно определить N переменных действия (как
функции F/) и N соответствующих угловых переменных. Для бесконечномерных
систем все это выглядит более формально. По отношению к ним мы будем
использовать термин "полная интегрируемость" для обозначения того факта,
что можно найти бесконечное число новых координат, аналогичных переменным
действие - угол, таких что первые являются интегралами движения, а вторые
меняются линейно со временем. Как читатель может уже догадаться,
переменные действия являются функциями бесконечного числа сохраняющихся
плотностей.
Теперь следует сделать еще одно замечание о временной зависимости
преобразованных переменных и о том, в каком смысле задача на бесконечной
прямой для (1.28) (q(x, ^)->-0,
42 Глава 1
х->±оо при всех t) проще, чем периодическая задача (q(x, t) = - q(x + Р,
t), х и t произвольны). В первом случае мы знаем q в двух точках
интервала, а именно х = ±оо во все моменты времени. В самом деле, данные
рассеяния являются мерой того, как меняются асимптотические решения
(1.29) (exp (± i *JXx)) по мере того, как х пробегает интервал между -оо
и +°°- Из (1.30) можно видеть, что в ±оо производная по времени от
ф(оо,1;?) не зависит от q, так как там q и его производные равны 0. Во
второй, периодической, задаче q не известно во все моменты времени ни для
одной точки интервала [0, Р]. И вследствие этого временная зависимость
данных рассеяния намного сложнее.
Оба этих случая кардинально отличаются от метода, с помощью которого
линеаризуется уравнение Бюргерса ш = ихх + + 2иих. Это уравнение может
быть записано в виде условия интегрируемости уравнений срх = иср и ср* =
