Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
медленно меняться ее амплитуда) так, чтобы выполнялся закон сохранения
энергии
56 Глава 2
Однако при q = qs закон сохранения массы ^qdQ = -^\qd<d
не будет выполняться. Поэтому мы должны добавить к идущему направо потоку
"шельф" с амплитудой (относительно амплитуды уединенной волны) порядка а,
простирающийся между точкой 0+ = 0, до которой могут дойти бесконечно
малые возмущения, и самой уединенной волной, т. е. располагающийся на
длине порядка а-1 (в единицах ширины уединенной волны). Поэтому этот
шельф переносит поток массы того же порядка, что и уединенная волна. В
области, непосредственно следующей за задним фронтом солитона, его
амплитуда определяется невязкой в балансе массы. Его дальнейшая эволюция
из этой области происходит по закону Грина.
Этого, однако, еще недостаточно, так как мы уже видели, что закон
сохранения потока массы по-прежнему не выполняется для полных
(двухволновых) уравнений, допускающих встречные волны. Поэтому мы должны
добавить еще одну компоненту- отраженную волну, имеющую амплитуду
(относительно уединенной) порядка ое и сосредоточенную на интервале с
длиной, равной величине (ае)-1, умноженной на ширину уединенной волны,
так что поток массы, создаваемый ею, имеет тот же порядок, что и поток
массы, вызванный двумя другими компонентами, движущимися вправо. Поле
скорости этой отраженной волны задается на "правой" характеристике при 0+
= О и имеет величину, определяемую различием в потоках массы,
определяемых по вКдФ и по полным двухволновым уравнениям. Ее
пространственное поведение определяется решением задачи Гурса: заданы и
на 0+ -О и г\ = и = 0 на 0_ = О, нужно найти rj, и, удовлетворяющие
линеаризованным уравнениям (2.11), (2.12) в квадранте 0+< О, 0_ > 0.
Оказывается, что Du и т] - константы с точностью до О(еа)2 вдоль
отрицательных характеристик 0_. Закон Грина здесь неприменим, поскольку
градиенты полевых переменных и, т| одного порядка с градиентом
невозмущенной глубины.
Исходя из этих идей (которые могут быть охарактеризованы как "разумное
использование законов сохранения"), можно получить полностью
самосогласованное решение исходной задачи. Любопытно сравнить потоки
массы, связанные с каждой из трех компонент решения. Поток массы будем
нормировать на (8/3) п0ре1/2Ао ((4/3) т^еА0 - амплитуда набегающей
уединенной волны, р - плотность, ho, h(x) и hf - начальная, текущая и ко-
Вывод уравнения Кортевега - де Фриза 59
нечная невозмущенные глубины соответственно):
h
уединенная волна -у,
хвост солитона (у-)^-• (2.25)
( hf\ 1/4 / ft \i/4 отраженная волна Г•
Сумма всех этих трех есть постоянная величина (hf/ho)l/i, равная потоку
массы вправо после того, как импульс достигнет новой невозмущенной
глубины и дальнейшего отражения уже не будет. Отметим, в частности, такой
интересный факт: если hf -С ho, основная доля воды отражается. Некоторые
из этих вычислений мы проделаем в гл. 3. Более детально с этими
вычислениями и связанными с ними результатами можно познакомиться по
работам [43, 45, 46]. Для некоторых необходимость введения отраженной
волны все еще является предметом споров. Это связано с ощущением, что
слабо меняющийся уклон будет в лучшем случае приводить к адиабатическому
отклику волны, а отраженная волна будет экспоненциально малой. Однако
существование точки, начиная с которой глубина начинает меняться,
означает, что отклик не адиабатичен. Уединенная волна и амплитуда
следующего за ней "хвоста" (шельфа) меняются незначительно, однако это не
относится к области, занимаемой последним. Он тянется от заднего фронта
солитона до точки, до которой распространились бы вышедшие из начальной
точки наиболее длинные линейные волны. Это означает, что двигающийся
вправо хвост имеет конечную длину и поэтому за его счет весь поток массы
не может быть скомпенсирован.
Этот раздел мы закончим некоторыми пояснениями о роли точно решаемых
уравнений Буссинеска [47] и Кадомцева - Петвиашвили [48]. Первое из них
имеет вид
хЗц vxx = vxvxx -j- vxxxx. (2.26)
Мы видим, что решеточное уравнение (1.3) имеет точно такой же вид, и если
мы позволим себе некоторую широту (а именно, заменим Ft на -Fx), то же
относится к уравнению (2.14) *). Однако в каком смысле (2.26) дает более
точное описание событий, чем два несвязанных КдФ? Ответ заключается
!) Заметим, что (2.14) с D = 1 принимает вид (2.26), только если мы ищем
бегущие лишь в одну сторону решения F(-< + х), полагая Ft = -Fx, Fxt = -
Fxx. Именно этот вариант уравнения связывается с именем Буссинеска.
60 Глава 2
в том, что оно не является более точным, поскольку для того, чтобы правая
часть в (1.3), т. е. нелинейный и дисперсионный члены, была одного
порядка с левой, нужно, чтобы отброшенные нами члены {е2уХххххх и
нелинейные типа г2уХхУхххх) были одинаково важны. Можно поэтому задать
другой вопрос: бывает ли ситуация, в которой каноническим уравнением
является
(2.26)? Ответ положителен. Напомню, как я уже указывал, что если в первом
