Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(и2 + н*)ср. Хотя и кажется, что временная эволюция ср(х, t) зависит от
знания и(х, t), это в действительности не так, поскольку (и2 + "*)ср =
ср**. Поэтому после подстановки срх - "ср для ср получается линейное
уравнение теплопроводности. Для уравнения КдФ на бесконечной прямой
уравнение для ф(хДД) не линеаризуется. Вместо этого появляется свободный
параметр X, и (1.28) является условием интегрируемости для (1.29) и
(1.30) для всех X. Поэтому, не зная функцию ф(х, t\X) при всех х и i, мы
знаем ее при всех t и X в точках х = ±оо.
If. Уравнение Лакса [14]. Несмотря на то, что временная динамика угловых
переменных более сложна, но как периодический, так и быстроубывающий
случай обладают тем ключевым свойством, что если q(x, t) эволюционирует
согласно (1.28), то спектр оператора L в (1.29), рассматриваемого как
оператор в L2{R) (Р=(-"э,°°) или [О, Р]), остается неизменным. Это
свойство было элегантно сформулировано Лаксом (1968) в той же статье
[14], в которой он исследовал двухсолитонное взаимодействие. Он заметил,
что если оператор L(t) (в данном случае- самосопряженный) и Р(0) имеют
одинаковые спектры, то они унитарно эквивалентны, т. е. существует
унитарный оператор U(UU* - U*U = /, т. е. равны тождественному
оператору), такой что
L(t)U(t) = U(t)L( 0). (1.41)
Таким образом, если ф(х, 0; Я) является собственной функцией оператора L=
- (d2/dx2) - q(x) при 1 = 0 с собственным значением X, то ф(x,t\X) =
U(t)ф(х,0;Я) есть собственная функция оператора L(t) с тем же собственным
значением. Это видно
История солитона
43
прямо из (1.41), поскольку L(t)iU(t)<p(x, 0; k) = W(t)(p(x, 0; Я).
Дифференцирование (1.41) по времени дает
Lt = BL-LB = [B, L], (1.42)
где B = UtU* - кососопряженный оператор. Уравнение (1.42) называется
уравнением Лакса, a L и В - парой Лакса. Заметим, что В может быть
получен из таких соображений: Фг(-М; Я)= Ut<p(x, 0; Я)= UtU*q>(x,t-, Я).
Для КдФ из (1.30) получаем В в виде (напомним, что Яф* = -<рХхх- (<7ф)*)
в=-4г-5(Д+?")+с' о-43"
Оказывается, что все интегрируемые уравнения типа КдФ могут быть
представлены в форме Лакса. Как показал Лаке, существует бесконечная
последовательность дифференциальных по х операторов В всех нечетных
порядков и поэтому бесконечное семейство потоков qt, сохраняющих спектр
L. Мы получим формулы для них в гл. 3. Читатель может прямым вычислением
проверить, что (1.42) - это на самом деле (1.21).
lg. Спонтанные явления в нелинейной оптике и преобразования Бэклунда.
Приблизительно тогда же, когда были достигнуты эти успехи, солитон
появился в совершенно новом контексте, а именно при распространении
ультракоротких (10-12 с) оптических импульсов в резонансных средах. В
1967 г. Макколл и Хан [15] открыли язление самоиндуцированной
прозрачности - эффект, при котором передний фронт импульса вызывает
инверсию заселенности атомных уровней, в то время как задний фронт
возвращает заселенность в начальное состояние путем индуцированного
излучения. Этот процесс реализуется, если время его осуществления мало по
сравнению с временем фазовой памяти среды и импульс достаточно
интенсивен, чтобы вызвать инверсию заселенности. Если мы предположим, что
среда состоит из атомов с двумя невырожденными уровнями, и пренебрежем
эффектами неоднородного уширения (вызванное допплеровским сдвигом
несоответствие между несущей частотой входящего импульса и разностью
между энергиями двух уровней), то процесс может быть описан в терминах
одной, полевой переменной, подчиняющейся уравнению sin-Гордон
uxt = sin и, (1.44)
где х - расстояние от границы среды, t - время (растянутое) и ди/дх
пропорционально амплитуде огибающей электрического поля Е(х, t).
44
Глава 1
Это уравнение было известно в течение длительного времени. Очень давно
оно исследовалось в связи с теорией поверхностей постоянной отрицательной
кривизны. В частности, А. Ф. Бэк-лунд (см. [16]) открыл, что новое
решение (или поверхность) ui(x,t) может быть получено из старого uo(x,t)
преобразованием
"1х - "ох = sin И| + и° , (1.45а)
"I/ + "о/ = s"n 7 "° ' (1.45Ь)
Такие преобразования известны как преобразования Бэклунда (определение мы
дадим позже в гл. 4) и позволяют очень просто конструировать
многосолитонные решения. Например, возьмем ыо = 0; интегрируя (1.45),
получим
Ui = ±4 arctgexp-(-2i\x - (1.46)
что описывает импульс и, для которого соответствующая оги-
бающая электрического поля Е равна 4т] sech(2Tpt + t/2r\) и
ОО
площадь ^ Edx - u(оо) - и(-оо) равна 2л. Эти импульсы из-
- ОО
вестны как 2я-импульсы и называются кинками (антикинками), если и
увеличивается (уменьшается) на 2я при х, изменяющемся от -оо до -J-оо.
Более сложные решения могут быть получены шаг за шагом с помощью теоремы
о перестановочности, приписываемой Бьянки, которая может быть записана в
виде
JfuzJS.. (1.47)
(Вывод этой формулы я оставляю читателю в качестве упражнения.) Более
сложные решения известны как Оя-импульсы (и меняется на 2я на полуоси (-
