Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Супергамильтониан
Более удобен здесь по сравнению с подходом АДМ подход, тесно связанный с дира-ковскими гамильтоновыми методами. Заметим, однако, что, выбрав функцию хода, равной некоторой определенной функции координат TV (?), мы не устраним в ней произвол. Вместо этого, согласно принятой здесь процедуре, исключим функцию N из вариационного принципа (21), положив ее (координатное условие!) равной некоторой выбранной функции полевых переменных и импульсов TV = TV (а, р±, Pa, р±). При подстановке в (21) любая такая функция оставляет вариационный интеграл в канонической гамильтоновой форме. Содержание нового вариационного принципа становится эквивалентным первоначальному, если только его дополнить связью
SS = 0, (27)
которая не может быть выведена из вариационного принципа. (Другие уравнения Эйлера — Лагранжа для этих двух вариационных принципов отличаются только членами, пропорциональными <Ш, и, таким образом, эквивалентны при наложении связи SS = 0 на начальные условия.) Выбор функции
N = (2/3n)J'V« (28)
очевиден и удобен. Тогда гамильтониан SS превращается в супергамильтониан в получающемся вариационном принципе
I — j р+ ф+ + р-dfL+ pada — SS dk, (29)
где t =K; тем самым отмечен специальный выбор координаты времени, определяемый выражением (28).
Динамика перемешанного мира
Если включить члены, связанные с веществом и не обладающие дополнительными степенями свободы, то супергамильтониан в формуле (29) модифицируется просто. Например, для плотности энергии вещества в системе отсчета с осью времени Bg= TV-1 (d/dt) выберем
T1OO= -T00= (3/4)2(|хе-3“ + Ге-4а). (30)
Два члена, входящие в выражение (30), описывают соответственно нерелятивистскую идеальную жидкость (р ~ F-1) и излучение (р ~ F-4/3) и приводят к гамильтониану
2 SB = — Pa? + р+2 + P- + е4“ (F— I) 4- \ie3a + Ге2“. (31)
Этот гамильтониан, обладающий простой квадратичной зависимостью от импульсов, отличается от гамильтониана элементарной механики только 1) знаком члена Pa и 2) детальной формой «потенциального» члена как функции а и р±, изучение которого сводится к изучению функции F (P). Гамильтоновы уравнения, полу^
30.7. Перемешанный мир 495
2
чающиеся в результате варьирования а, р±, ра и р±, в (29) дают
Таким образом, знак члена р% говорит об ускорении а (а не о замедлении), приводящем к более высоким значениям «потенциальных» членов е4“ (F — 1) + + це3® + Ге2“. Если I F I <С 1 (малая анизотропия), то уравнение (33) по форм& тождественно уравнению для изотропной модели Фридмана и допускает замедление только тогда, когда а достаточно велико и член с положительной кривизной (—eia) доминирует над членами с веществом ([хе3“) и излучением (Ге2я). Вблизи сингулярности (а —> — оо) член с положительной кривизной всегда пренебрежимо мал по сравнению с излучением и веществом.
Для исследования поведения модели вблизи сингулярности достаточно изучить упрощенный супергамильтониан
поскольку другие члены, очевидно, исчезают при а —оо. Тогда в 3Rjx =
тельной, F 1. Если бы член с F (P) был также пренебрежимо мал, то супергамильтониан SB = —Pa + РІ + РІ ПРИВОДИЛ бы к постоянству Pa и р±, т. е. казне-ровскому решению
и I d$/da [а = 1, как и следовало ожидать (поскольку вещество и кривизна были пренебрежимо малы). Чтобы продвинуться дальше, необходимо изучить F (P), отправляясь от выражений (19), (8) и их прямого следствия
Отсюда находим, что F (P) представляет собой положительно определенную «потенциальную яму», которая обладает той же Показано несколько эквипотенциалов
d№ ЗР± 2 ЗР±
(32>
и
(33>
2сW ~-Pl+р\ + pi + eiaV (P),
(34)
з
= — е~2а (I — F) сохраняется лишь член с F, который доминирует, если кривизна
замкнутой Вселенной становится отрица-
dp±/da = р±/ра = const
F(P)= e-2p+ + ch2 К3р_ +
-fl + -|-e4p+(ch4/3 p.-!). (35)
496 ЗО. А низотропнае и . неоднородные космологические модели
ностями, поскольку
У ((З) = 8 (IV-f р_*) +О (рз). (36)
Для больших значений P находим
Vr(P) ~-J-в'вР+- Р+->-оо (37)
и
У(0)~1 + 16РА*Ч (38)
Эти две асимптотические формы (вместе с симметрией треугольника) дают полное асимптотическое описание V (P)1 что схематически представлено на фигуре, где на последовательных уровнях, разделенных интервалом AP = 1, потенциал V возрастает в е8 = 3-108 раз.
¦«Скачки», прерывающие казнеровские шаги к сингулярности
Доминирующей особенностью потенциала V (P)1 очевидно, являются его крутые {экспоненциальные) треугольные стенки; типичная стенка описывается формулой (37). Эволюция модели Вселенной под действием этой потенциальной стенки определяется супергамильтонианом
2М-------Paz + P+z + P-zjT-f- е4(“- 2р+). (39)
Если а —> — оо и d$+lda. > 1/2 [напомним, что d$+lda. — const, [ dp/da | = I, если последний член в (39) мал], то потенциальный член растет и в конечном счете становится настолько большим, что начинает влиять на движение. Простое «лорен-цевское» преобразование, допускаемое метрикой суперпространства (коэффициенты которой квадратичны по импульсам), упрощает дальнейший расчет. Полагая
