Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Модель перемешанного мира — ценный пример. Как описано в § 30.7, поведение этой модели вблизи сингулярности иллюстрирует большинство особенностей многих известных общих примеров. В частности, она показывает, как вблизи космологической сингулярности проявляются свойства пустого пространства, делающие его похожим на упругое твердое тело.
Математический подход к этому примеру, приведенный в данном дополнении, иллюстрирует также некоторые важные приемы использования вариационных принципов для уравнений Эйнштейна с целью объяснения решенпя этих уравнений. Модель перемешанного мира можно использовать также для получения простых примеров суперпространственных представлений и квантовых формулировок законов тяготения [505].
Обобщенная модель Казнера
Чтобы продвинуться от казнеровского примера космологической сингулярности
(30.1) к модели перемешанного мира, необходимо осуществить два обобщения. Первое заключается в том, чтобы допустить более общую зависимость от времени, сохраняя в то же время простоту условий (30.2), наложенных на показатели}/?г. Отметим, что эти показатели удовлетворяют, например, тождеству
P2 == d In g2ild In g.
Поэтому мы приходим к тому, чтобы параметризовать пространственную метрику (З X 3):
gu = ег&(еЩи, (1)
или, эквивалентно,
(In g)ij = 2abl3 + 2ри,
где —симметричная матрица (З X 3), не имеющая следа, а экспонента представляет собой матричный степенной ряд, поэтому det е2& = 1 и
Vg = «За. (2>
490 80. Анизотропные и неоднородные космологические модели
Только для целей этого параграфа определим матрицу рц = d (In g)ijld In det g. Тогда из выражений (1) и (2) получаем
Pu = Y [$u + (WtiIda)]; поэтому одно из казнеровских условий
I = S Pi — SvPu = I+ -J-Sp(Wfa) (3)
І
в силу того, что Sp = 0, превращается в тождество. Второе условие на казне-ровские показатели
Sp (р2) = 1
благодаря выражению (3) превращается в (dp^/dcc)2 = 6. Это не тождество, а следствие уравнений Эйнштейна в пустом пространстве. Для метрики (Бианки тип I)
ds2 = —dt* + е2а (еЩи dx* dx3 (4)
и в случае, когда матрица диагональна, уравнения Эйнштейна имеют вид
<5>
я
Т8"Г“) (в)
плюс еще избыточное уравнение, включающее T1kk, и уравнение Toh = 0. [Компоненты тензора энергии-импульса относятся здесь к ортонормальной системе отсчета с базисными 1-формами (о1 = е“ dx?.] Из уравнения (5) немедленно полу-
чаем формулу для эффективной плотности энергии анизотропии типа It дающей вклад в постоянную Хаббла H = da/dt на равных основаниях с плотностью энергии вещества [уравнение (30.4)]:
Раниз (I) = (са/ 16л(г) (dpi//d/)a. (7)
Аналогично, для случая жидкости (изотропные давления) члены, связанные 45 напряжениями, в уравнении (6) исчезают, и мы получаем раш,з (I)^6a = const [см. выражение, следующее за уравнением (30.4)]. Казнеровское условие ^p* = 1 или (dp^/da)2 = 6 вытекает из уравнения (5), как только Т4» <раНиз-
Если матрица — диагональная, она имеет только две независимые компоненты, которые иногда удобно определить в явном виде с помощью параметризации
Pu = Р+ + /Зр_,
Р«а = р+-К3р_, (8)
Pss = —2р+.
Казнеровское условие (dp^/da)* = 6 в этом случае принимает вид
(dp+/da)a + (dp_/doc)a = I. (9)
связаны с казнеровскими показателями Pt или с параметром и из уравнений {30.5) соотношениями
§ 30.7, Перемешанный мир 491
2
dft+lda. = — (I — Зр3) = — 1 + (3/2) (1 + и + и2)-1,
1 < _ (Ю)
dfijda, = Y К3 {pt — р2) = — -Y У 3 (I + 2и) (I + и + м2)-'
Введение пространственной кривизны
Делая первый шаг в обобщении метрики Казнера, мы сосредоточили свое внимание на «скорости» P' = (d$+/da, dfijda), которая представляет собой производную
от анизотропии по расширению. Под влиянием вещества или, как будет вскоре
показано, пространственной кривизны величина || р/' || может отклониться от каз-неровского единичного значения. Второй шаг в обобщении состоит в том, чтобы ввести пространственную кривизну. Этого можно достичь простым способом, сохраняя метрические коэффициенты уравнения (1), но применяя их в неголоном-ном базисе. Воспользуемся базисными векторами, введенными в упражнениях 9.13 и 9.14, посвященных группе вращения SO (3), дуальные 1-формы которых имеют вид
a1 = cos if> dQ + sin if> sin Qd<f>,
a2 = sin if> dQ — cos я|) sin Qd<f>, (11)
a3 = dft|> + cos Qd<f>,
и образуем метрику
ds1 = -N2 dt2 + e2a (еЩи OiOj1 (12)
где TV, а и pi; —функции только t. Если а — О = р*;-, то трехмерная пространственная метрика из (12) сводится к метрике, изученной в упражнении 13.15, которая обладает самой высокой симметрией в пространстве группы SO (3). Просто связанное покрытие пространства имеет топологию 3-сферы и получается, если, расширив область значений эйлерова угла я|>, придать ему период 4л [SU (2) (или
j
спин 1I2', покрытие группы вращений]. При TV = 1, у а — и р^ = О мы получаем из (12) ту же самую метрику (в других координатах), которая рассматривалась в упражнении 14.4 и в гл. 27 при обсуждениях закрытой фридмановской кос-
