Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
мологической модели. Отличие Pjj от нуля позволяет иметь различные длины окружностей на больших кругах 3-сферы в каждом из 3-х взаимно ортогональных главных направлений, нарушая таким образом изотропию 3-сферы, но не ее однородность.
Рассмотрим только случай диагональной матрицы pi;-, воспользовавшись выражениями (8). Тогда уравнение Эйнштейна для T00 принимает вид (в качестве координатно-временного условия выбрано TV = 1)
3 (а2 - р+2 - р_2) + І- (<3>Діх) = 8лГ00; (13)
это уравнение отличается от уравнения (5) только членом
3^1X = 4" в-2“Sp(2e-2P —?40). (14)
Член (14) [см. уравнение (21.92)] представляет собой скалярную кривизну трехмерного сечения t = const [которое имеет свойства симметрии, известные как «Бианки типа IX» в применении к метрикам (11) и (12)]. Если интерпретировать
2
492 SO. Анизотропные и неоднородные космологические модели
уравнение (13) через плотность энергии анизотропии, дающей вклад вместе с Tw
і • в объемное расширение а2, то тогда появятся не только члены P2 типа кинетической энергии [как в уравнениях (5) и (7)], но также и член типа потенциальной энерпии. Этот член показывает, что отрицательная скалярная кривизна, которую можно создать анизотропией (р Ф 0), эквивалентна положительной потенциальной (или «внутренней») энергии, кроме того, он позволяет предположить, что пусто & пространство обладает свойствами, делающими его похожим на упругое твердое тело, оказывающее сопротивление сдвиговым деформациям. Более детальный анализ, который следует далее, показывает, что если скалярная кривизна полот жительна, то она всегда пренебрежимо мала вблизи сингулярности.
Однако в этой замкнутой Вселенной из-за больших сдвиговых деформаций (P) вблизи сингулярности возникают отрицательные кривизны, которые становятся настолько большими, что останавливают одно казнеровское движение [величина и. и т. д. уравнения (10)] и заменяют его другим.
Эти условия и дальнейшие детали эволюции во времени перемешанного мира (11) и (12) требуют в принципе изучения всех уравнений Эйнштейна, а не только уравнения (13) для Г00. Однако, как описано в гл. 21, это уравнение связи (Г00) является основным и фактически при подходящей формулировке полностью включает в себя все содержание уравнений Эйнштейна.
Вариационные принципы
Одна из адекватных формулировок, принятая здесь, включает в себя рассмотрение уравнения (13) не как уравнения энергии (содержащего скорости), а как гамильтониана (содержащего импульсы). Возьмем эйнштейновский вариационный принцип (21.15) в форме АДМ, (21.95), и выполним интегрирование по пространству, используя
J о1До'2Да3= j sin[0d^/\de= (4я)2; в результате получим интеграл действия в виде
J=(")j {n°dgi./ + M?3“[3tfix + e~e“(-7K(JT^ )2 — . (15)
Если ввести для gij специальную форму (1) и (8), то удобно также параметризовать диагональную матрицу следующим образом:
Pa = (2я) я\,
/ ¦ I . / V (16)
р\ = (2я) (я\ —у б\я
где
= P+ + P-V 3,
6р2а =Р+ -P-V 3, (17)
6pss = —2р+
[см. равенство (8)]. В результате находим
І н -За
P+ Ф+ + P- dP- + Pa da----24^— I — Pa2 + P+2 + P-2 — 24я2е6“ (3i*ix)] dt.
§ 30.7. Перемешанный мир 493
Для дальнейшего изучения этот интеграл удобно преобразовать следующим •образом.
Запишем
3i?ix = -|e-2«(l_F), (18)
где
F=F(p) = -^-Sp(l-2e-2P + e4P), (19)
поэтому V (0) = 0; выберем нуль а (а -+¦ а —а0) так, чтобы е2а -+¦ (6л)-1 е2а. Тогда метрика примет вид
ds2 = —N2dt2 + (6 л) “V» (еЩио1о\ (20)
а для вариационного интеграла будем иметь
I = f р+dp++ р_ dfL + ра с&х — (Зп/2)1/г Ne~3aSS dt, (21)
где
ш = -Pa2 + P+2 + р-г + <?4“ (V-1). (22)
Требование, чтобы 81 = 0 для произвольных независимых вариаций р±, ра, р±, a, N, приводит к уравнениям Эйнштейна. Варьируя N, находим фундаментальное уравнение связи <$? = 0 [которое при замене импульсов на скорости (с помощью уравнений, получающихся при варьировании р) сводится к вакуумному варианту уравнения (13), если наложить координатное условие N = 1].
Гамильтониан Арновитта, Дезера и Мизнера (АДМ)
Вариационный принцип, изложенный выше, можно свести к канонической (гамильтоновой) форме, выполняя стандартное предписание АДМ; оно заключается в том, что выбирают одну из полевых переменных или один из импульсов в качестве координаты времени и решают уравнение связи для сопряженного ей гамильтониана. В данном случае очевидно и удовлетворительно выбрать t = а и решить уравнение SS = 0 для
-Hadm= — Ра= [p+2 + P-2 + e4a (F— l)]v*. (23)
Уравнение для а [варьирование ра в вариационном интеграле (21)] имеет вид
а = (—Зл/2)1/* Ne-3apa (24)
и показывает, что выбор a = t (отсюда а = 1) приводит к требованию:
NADM = (2/Зл) /г е3а/НАВЫ. (25)
Приведенный канонический вариационный принцип, который получается, если воспользоваться для исключения ра равенством (23), гласит: б/прив = 0, где
¦Лірив = J P+ ^P+ P- ^P-—^adm da (26)
и должно быть учтено выражение (25).
2
494 SO. Аниаотропные и неоднородные космологические модели
