Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Так, в первом большом классе решений, изученных Лифшицем и Халатниковым [496, 497], было найдено, что вблизи сингулярности решения, отвечающие веществу, не проявляют новых особенностей по сравнению с вакуумными решениями. Кроме того, в этих решениях уравнений Эйнштейна пространственные производные становятся пренебрежимо малыми вблизи сингулярности, откуда следует, что поведение пространства-времени вблизи сингулярности описывается метрикой казнеровского вида [формула (30.1)], однако с различными наборами значений р* в каждой точке сингулярной гиперповерхности. Впоследствии более полное изучение решений вблизи сингулярности [498] показало, что еще лучшим прототипом поведения решения вблизи сингулярности по сравнению с метрикой Казнера является модель перемешанного мира [158, 499].
§ 30.7. ПЕРЕМЕШАННЫЙ МИР
Простейший пример перемешанного мира описан в дополнении
30.1. Он демонстрирует, как вблизи сингулярности казнеровские показатели P1 могут стать функциями времени. Результат проще всего описывается с помощью параметра Лифшица — Халат-
Cm. работы [499, 500, 532].— Прим. ред.
2) с (почти симметричными) гравитационными волнами
3) вблизи
сингулярности
с некоторой
симметрией
или в отсутствие
симметрии
Перемешанный
мир:
1) объяснение
«анизотропных
колебаний»
на основе
казнеровской
модели
2
488 ЗО- Аниаотропние и неоднородные космологические модели
2) как прототип общего поведения решений нблнив оингулнрвоотей
никова и:
P1 = —и/(1 + U + U2),
р2 = (1 + и)/(1 + U + U2), (30.5)
P3 = U (I + U)/(1 + U + U2).
Экстраполируя назад во времени по направлению к сингулярности, находим, что скорости расширения по трем главным направлениям соответствуют скоростям расширения, полученным из метрики Казнера (30.1), причем значения Pi отвечают некоторому фиксированному параметру и. В этих моделях перемешанного мира, однако, метрика не зависит от пространственных координат (пространственноподобные гиперповерхности могут, например, иметь ту же топологию 3-сферы, что и закрытые фридмановские модели Вселенной).
Режим казнеровского типа с фиксированным и может быть устойчивым в течение многих декад объемного расширения, прежде чем вступят в игру аффекты пространственных производных метрики. Роль, которую затем играет пространственная кривизна, коротка и решительна. Расширение типа, соответствующего значению параметра и — ц0, превращается в расширение типа, соответствующего значению параметра и = —U0 (которое при изменении обозначения осей эквивалентно и = U0 — 1). Экстраполируя еще дальше назад к сингулярности, находим предшествующий период с u = U0 — 2. На всем протяжении полной последовательности u = u0, u0 — I, U0 — 2, U0 — 3, . . ., с u0 > 1 почти все объемное расширение обусловлено расширением по 3-му направлению, тогда как 1- и 2-е направления изменяют его незначительно, вызывая на каждом шагу попеременные расширения и сжатия. Однако при достаточно далекой экстраполяции в прошлое такая последовательность приводит к значению и, расположенному в интервале от 0 до 1. Это значение посредством преобразования и -*~ -*¦ І/u, которое ведет к перемене обозначений осей 2 и 3, может быть интерпретировано как начальная точка для другой, аналогичной последовательности.
Экстраполяция эволюции Вселенной назад по направлению к сингулярности при t = 0 демонстрирует, следовательно, чрез-г вычайно сложное поведение решения, при котором аналогичные, однако не точно тождественные последовательности режимов повторяются бесконечное число раз. В функции временной переменной, которая приближенно равна Ig (Ig <-1), эти режимы являются квазипериодическими. В общем примере, к которому, ведут методы Лифшица — Халатникова, мы имеем метрику, асимптотическое поведение которой вблизи сингулярности в каждой точке сингулярной гиперповерхности описывается режимом, характерным для перемешанного мира, однако главные оси расширения на каждом шагу изменяют свои направления и меняются ролями (характеризуемыми параметром м), а параметры перемешанного мира изменяются в пространстве. (Более подробно см. [500—503].)
§ 30.7. Перемешанный мир 489
2
Однако еще не известно (1972 г.), существуют ли важные решения или классы решений космологической проблемы, асимптотическое поведение которых вблизи сингулярности не описывается общим решением Лифшица — Халатникова. Трудность, препятствующая здесь определенной оценке, заключается в том, что Лифшиц и Халатников используют существенно локальные методы, ограничивающиеся рассмотрением отдельного куска координатного пространства, тогда как желаемая оценка ставит существенно глобальный вопрос. Глобальные подходы (описываемые в гл. 34) не дали, однако, сколь-нибудь сравнимого описания природы сингулярности, необходимость которой они доказывают. Попытка проложить мост между этими различиями в методе и содержании предпринята в работе Иадли, Лианга и Сакса [504].
Имеются ли другие общие типы поведения решений вблизи сингулярностей?
Дополнение 30.1. МОДЕЛЬ ПЕРЕМЕШАННОГО МИРА
