Гравитация Том 2 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Р+ = (р+--1а)/Уз/4, а= (а—|-р+)//3/4,
находим
23#= — pa2+P+2+P-z + 4'ex р (— 4V^3 р+). (40)
Для этого супергамильтониана обе величины ра и р_ являются интегралами движения, тогда как р+-гамильтониан, + е-4^ ^+, описывает простой скачок
на одномерной потенциальной стенке с начальным и конечным значениями р+, отличающимися только знаком. Поведение параметров анизотропии р± вблизи сингулярности состоит, таким образом, из простого казнеровского шага (где
d$±/da, = const с d$+/da, ^ , или с эквивалентными благодаря симметрии условиями, которым удовлетворяет одна из трех стенок), за которым следует скачок
от этой стенки, дающий начало новому казнеровскому шагу с другими казнеров-скими параметрами. (Наиболее подробное описание этого режима и его связи
§ 30.7. Перемешанный мир 497
2
с более общими космологическими моделями можно найти в работе Белинского, Лифшица и Халатникова [499] см. также более краткое сообщение Халатнико-ва и Лифшица [506], где использованы совершенно другие методы. Детальное развитие гамильтоновых методов, которым уступают неполные лагранжевы методы Мизнера [158], см. в [502, 503, 505, 507].)
Стационарное состояние, квазипериодическая бесконечность «скачков» при приближении к сингулярности
Некоторые глубокие особенности поведения решения вблизи сингулярности, содержащего много казнеровских шагов, можно показать, используя другое преобразование параметрического пространства (суперпространства) метрического поля. Преобразование вводит «радиальную» г-координату, исходящую из начала пространства ар±, но в то же время сохраняет метрические свойства этого суперпространства, следующие из вида супергамильтониана. Определим поэтому (для любого постоянного а0)
а0 — а = el ch ?,
Р+ = ег sh ? cos ф, (41)
Р_ = е* sh ? sin ф
и найдем
ш = e'2,J[( - Pt2 + Pt2 + Яф2 Sh-2 0 + e2teiaV]. (42)
Преимущество этого преобразования заключается в том, что в пределе при
t -*• оо (а —*¦ —оо, сингулярность) потенциальные члены в первом приближении становятся не зависящими от t. Поэтому из формулы (37) для одной потенциальной стенки получаем
e2,eiaV----|-е2(ехр[4ао — 8е* (sh?cos ф + -j-ch ?)]. (43)
При t —у оо (в зависимости от знака выражения, стоящего в круглых скобках) эта величина стремится, очевидно, к нулю или к бесконечности. Поэтому определим асимптотические потенциальные стенки в секторе | ф — п | < я/3 выражением
th?+ !у =O (44)
и эквивалентными выражениями, в которых ф заменено на ф ± (2я/3), для других сторон треугольника. Следовательно, асимптотическое приближение к супергамильтониану имеет вид
ш = <г2‘ I-Pt2 + Pt2 + РФ2sh-2i + V' (?, Ф)], (45)
где потенциал V (?, ф) исчезает внутри асимптотических стенок (44) и равен -f- оо
снаружи. Поскольку остаточная зависимость от t входит в (45) в виде общего множителя, то, сделав простую замену независимой переменной e~2t ctk = dk' в интеграле (29), —это эквивалентно выбору уравнения
N = (2/Зя)1'*е-а‘ ехр [3 (а0 - е* ch ?)] (46)
32-01508
2
498 30. Анизотропные и неоднородные космологические модели
вместо (28), — получим новый супергамильтониан SB' = eilSS с вариационным интегралом
непосредственно видно, что Pt — интеграл движения и что «скачок» значений ?9 внутри асимптотических потенциальных стенок есть стационарный процесс, квазипериодический по этой координате времени X' (или t, поскольку dttdk' = — —Pt = const). (Более детальное исследование, основанное на асимптотическом супергамильтониане, показывает, что движение является даже эргодиче-ским: при t —V 00 произвольно близко подходит бесконечное число раз к любому
заданному значению, см. [508].)
Поведение перемешанного мира вблизи сингулярности оказывается чрезвьічайік активным. В простейшей казнеровской сингулярности две оси сжимаются, а третья растягивается простой приливной деформацией, которая сопровождается объемным сжатием. Однако в модели перемешанного мира каждая попытка такого сжатия разрушается благодаря высокой отрицательной кривизне, которая следует из этой модели. Или, вернее, поскольку сжатие неумолимо продолжается, она склоняется к другой попытке, но приливные деформации покушаются сначала на одну конфигурацию, затем на другую, переходя к неограниченному зондированию всех возможных конфигураций.
Соображения, касающиеся времени и сингулярности
Космологическая сингулярность (во всех примерах, где известно, что она не носит неустойчивый характер) включает в себя бесконечную кривизну и бесконечную плотность. Наше отвращение к такому теоретическому заключению особенно усилилось в связи с предсказанием, что эти бесконечности имели место в конечное собственное время в прошлом и будут, если они повторятся, иметь место в некоторое конечное время в будущем. Предсказание о сингулярности было бы более терпимым, если бы момент достижения бесконечной плотности можно было сдвинуть в бесконечно удаленное прошлое. Естественным состоянием Вселенной было бы тогда, как это имеет место сегодня, расширение, поэтому любая конечная плотность достигалась бы в некоторый подходящим образом удаленный момент в прошлом, а бесконечная плотность стала бы формальной абстракцией, никогда не реализуемой в ходе эволюции.
