Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
неприводимое-безразлично) и g'~yTg:-порождаемое им представление
собственной группы в R, S-оператор, соответствующий отражению. Напомним,
что для элементов собственной группы g' имеет место равенство sg's~1 =
(g'T~1 (s - пространственное отражение).
Аналогичное равенство имеет место и для операторов представления g' У
Тд! и 5
STp,S'l = T(gT-i. (3)
Напомним, что представление g'?V)*_1 собственной группы Лоренца мы
назвали сопряженным к представлению g' -"¦ Тд<.
Равенство (3) означает, что представление g' -> Тд: собственной группы
Лоренца эквивалентно представлению g' -> T(a>)*-1.
Таким образом, представление собственной группы Лоренца g'-*Tg:,
порождаемое представлением полной группы Лоренца
214 ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч.
II
g-*-Tg, эквивалентно своему сопряженному представлению g' -> Г^')*-1.
После этого замечания перейдем к описанию неприводимых представлений
полной группы Лоренца.
2. Неприводимые компоненты представления собственной группы Лоренца,
порожденного неприводимым представлением полной группы. В пространстве R,
где действует неприводимое представление g-+Tg полной группы, задано тем
самым представление g'-+TS' собственной группы (вообще гозоря,
приводимое).
Покажем, что представление g' -> 7^> собственной группы Лоренца в
пространстве R или неприводимо, или раскладывается в сумму двух
неприводимых представлений (г. е. пространство R разбивается на два
подпространства, неприводимых относительно представления g'-у Тд'). Пусть
R' - подпространство из R, где представление g' -> Тд> собственной группы
неприводимо и определяется парой т.-- (/0, lt). Обозначим через Rz образ
подпространства /?т при действии оператором 5 (т. е. совокупность всех
векторов вида Si, где с - элемент RT). Очевидно, что R' является
подпространством в R. Оказывается, что Rz инвариантно относительно
операторов Н+, Н_, Н3, F + , F_, Fv Действительно, R инвариантно
относительно операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, т. е.
HaRz = Rz, FaRz = Rz (" = - , + , 3).
Но в этом случае из соотношений коммутации (1) имеем:
HJ?-= HaSRz = SHJF = SR- = R'
и
FaRz = FaSRz - - SFRZ = - SRz = - Rz = R\
т. e. Rz инвариантно относительно операторов Ha и Frj, и следовательно,
инвариантно относительно операторов Тд-, соответствующих собственным
преобразованиям Лоренца. Нетрудно видеть,
что представление собственной группы g' -> Тд,, действующее в Rz,
неприводимо. Действительно, если бы в R~ нашлось подпространство R'z,
инвариантное относительно представления g' -у Тд< собственной группы, то
SR'Z снова было бы инвариантно относительно этого представления g'-+Tg'.
Но поскольку SRZ = Rz (вспомним, что S2 - E), то SR'Z составляло бы часть
пространства Rz и представление g' -у Тд- в Rz было бы приводимо, вопреки
тому, что предполагалось о пространстве Rz.
п. 2] § 3. представления полной и ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 215
Таким образом, в пространстве R, где действует неприводимое представление
полной группы, наряду с каждым подпространством Rz, в котором
представление собственной группы g' ->¦ Тдг, неприводимо, есть
подпространство Rz, в котором представление g'-*- Тд: собственной группы
также неприводимо (при этом SRZ=RZ).
Заметим, что пространства Rz и Rz либо совпадают, либо не имеют отличных
от нуля общих элементов. Действительно, подпространство R, по которому
пересекаются пространства R~ и Rz, инвариантно относительно представления
g' -> Тд< собственной группы.
В силу неприводимости обоих пространств Rz и Rz подпространство R либо
совпадает с -каждым из них (и, следовательно, сами эти пространства
совпадают), либо равно нулю.
Итак, возможны два случая.
1. Пространства Rz и Rz совпадают друг с другом и, следовательно, со всем
пространством R, где действует неприводимое представление полной группы
Лоренца. Другими словами, представление собственной группы g'-*-Tg',
порождаемое неприводимым представлением полной группы, также неприводимо.
2. Пространства R" и R" не имеют общих элементов, отличных от нуля. В
этом случае, очевидно, их прямая сумма совпадает со всем пространством R,
где действует неприводимое представление полной группы.
Покажем, что в случае 2 представления собственной группы,
действующие в Rz и R', сопряжены, друг другу и не эквивалентны
между собой.
Запишем тождество (3) в виде
S7V = 7V*)-iS. (30
Применим левую и правую части (3) к вектору ; из Rz. Так как Тд:
порождает в Rz представление Тдг, а в Rz-представление Т^, и так как S
переводит Rz в Rz, имеем:
STzg,t=Tzg,r-iSl (3")
В силу определения эквивалентных представлений (§ 1, п. 6) равенство (3")
означает, что представления Tzg< и эквивалентны,
т. е. представление Tzg: сопряжено представлению Tzg'.
Осталось показать, что представления Тд. и Тд' не эквивалентны. Для этого
покажем, что если они эквивалентны, то представление g -+Тд полной группы
в пространстве R приводимо.
216
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
Действительно, пусть представления g' ->¦ 7^ и g' Тхд' эквивалентны.
