Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
представлении содержатся все веса 1$, /0+Ь •••> А) + и и только они.
Обратно, для конечномерного представления с наибольшим весом 1 = 10-\-п,
как снова видно
П. 7] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
203
из формул (7), (8), (9), Сглп+1 обращается в нуль: Cz)+)!+i = 0. Но
Сг0л.п^\ = 0, лишь если l\ = (10 п -|- I)2 (см. (16)). Отсюда [ lt | - 1
= = /0-фц, т. е. 1у - целое или полуцелое число (одновременно с 10), и |
Zj J-1 есть наибольший вес, участвующий в конечномерном представлении.
Таким образом, представление конечномерно, когда 10 и Tj - одновременно
целые ила полуцелыг числа и ]^J>JV!- При этом в представлении участвуют
все веса от \ 101 до \ ф \ - 1 включительно. В случае других пар (/0, lt)
представление бесконечномерно.
Заметим еще, что с каждым конечномерным представлением, определяемым
парой ('0, /ф, тесно связано другое, бесконечномерное, представление с
парой (llt 10). Это представление называется "хвостом" конечномерного
представления (/0, /ф. Формулы для инфинитезимальных операторов "хвоста"
почти такие же, как и для самого конечномерного представления, так как 10
и входят в эти формулы симметрично. Только в первом случае CjAj, а
во втором
|/i|</< о°.
Рассмотрим три важных примера конечномерных представлений собственной
группы.
Первый пример. В § 1 мы построили соответствие между элементами ga^ag
собственной группы Лоренца и определенными с точностью до знака
комплексными матрицами ад второго порядка с определителем, равным 1.
Легко Проверить, что это соответствие задает неприводимое двузначное
представление собственной группы Лоренца, действующее в двумерном
комплексном пространстве (z0zх) по формуле
= a00Z0 ~t~ a01Zl > )
, (23)
¦zi - aiozo ~t~ auzi> j
где матрица \\ajj\\-ag.
Заметим, что если g-вращение, то ад - унитарная матрица и формула (23)
задает обычное спинорное представление группы
вращений веса / = Таким образом, в неприводимом представлении (23)
участвует один вес 1 = Следовательно, числа пары (l0, IJ,
1 3
определяющей это представление, имеют вид |/0[ = -; 1^1 = у.
Как мы знаем, числа 10 и определены с точностью до одновремен-
з
ного изменения знака. Положим поэтому /х = -. В § 4 мы вычислим
инфинитезимальные операторы этого представления и убедимся, что /0 = у,
т. е. пара (/0, 1Х) имеет вид (/0, /х) ==
Второй пример. Кроме представления ga->-agl в двумерном комплексном
пространстве действует сопряженное ему представление
204
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
ga ->¦ = {а*д) *¦ Согласно результатам п. 6, это представление
определяется парой ^- у, .
Заметим, что, как мы видели в § 1, имеет место равенство = тат-1, где т =
( j q)* а а - матрица, комплексно-сопряженная матрице а. Это равенство
означает, что представление ёа~+{а*д) эквивалентно представлению ga-+ ад,
которое, следовательно, также определяется парой ^--------
Из формул (13) - (19) для инфинитезимальных операторов Н+, Н_, Н3, F+,
F_, Fз неприводимого представления следует, что, кроме представления ga-+
а и ga->- а, не существует никаких других неэквивалентных им неприводимых
представлений в двумерном пространстве.
Третий пример - это тождественное представление g-+g собственной группы,
действующее в четырехмерном пространстве (лгоЛг^з-Гз). Представление это,
как легко видеть, неприводимо.
.Найдем определяющую его пару (10, R). Пространство Rсодержит два
подпространства, инвариантных относительно вращений: временную ось л;0
(л^ = лг2 = х3 = 0) и трехмерное пространство ОплггЛГз) (дг0 - 0). Отсюда
следует, что числа (/0, 1Х), определяющие представление g->g, таковы: /0
= 0; /1 = 2. Канонический базис этого представления имеет следующий вид:
- le" е" +
Л t Х1 хз ? - f xi 1 хч
?оо - > ?1,-1 - 2 ' 10 - Хг' 'И - 2 '
где еХо, eXi, eXs, eXs¦-орты координатных направлений лг0, л^, лг2, х3. В
дальнейшем, в § 4, мы еще вернемся к описанным только что примерам.
8. Унитарные неприводимые представления собственной группы Лоренца.
Унитарность представления означает, что в пространстве R, где действует
представление g-> Тд, существует положительно определенная билинейная
эрмитова форма, инвариантная относительно всех операторов Тд *).
Покажем, что в случае унитарного представления операторы Н3 и Fз
эрмитовы, т. е.
(Я3/, h) - (/, Я,А),
(FJ, h) = (f, F3h).
*) Напомним, что билинейная эрмитова форма (/, К) в R называется
швариантной, если для любых двух векторов / и h и любого оператора
предъявления Тд
(Tgf, Tgh) = (/, h).
П. 8] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ 205
Действительно, пусть ?¦(") - поворот вокруг оси х3 на маленький угол ср,
тд(?) - соответствующий оператор. Из определения оператора Н3 можно
написать:
что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается эрмитовость F3. Кроме того, сопряжен ным
оператором к Н+ является оператор Н_, а к F+ - опера тор F
Легко проверить, что введенный нами в пространстве представления базис
%im в случае унитарного представления является ортогональным *).
