Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 77

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 132 >> Следующая

Мы получили, таким образом, что матрица А, задающая в каноническом базисе
kim инвариантную билинейную эрмитову форму, удовлетворяет соотношениям:
1) UgA = AUg, если g-элемент группы вращения, 1
2) AF3 - РзРЛ = 0 и | (31)
3) Л = Л*. J
Легко показать, что, обратно, всякий оператор Л, удовлетворяющий этим
соотношениям, задает в каноническом базисе форму, инвариантную
относительно представления собственной группы Лоренца.
Сейчас мы найдем общее решение соотношений (31), а также выясним, какие
неприводимые компоненты т содержатся в представлении g-^Тд, допускающем
инвариантную форму.
Остановимся сначала на первом условии и найдем общий вид оператора Л,
перестановочного со всеми Ug, когда g-вращение.
Заметим, что матрица Uд представления группы вращений в каноническом
базисе и может быть записана в следующем "кле-
точном" виде:
О ... 0...
и" =
О и%.
О
о ... и"
где Uzgi - матрица неприводимого представления группы вращений с весом /,
участвующего в неприводимой компоненте т представления g->Tg всей
собственной группы. Матрицу билинейной формы
Л - 11 aimVm' [ j
аналогичным образом разобьем на клетки:
где
"XT' ______ ТС
Ац< = \ \aimV
(,т ¦
л г 1
¦I,
яхкхк
hi*
/; т' = - V)
¦прямоугольная матрица размером (2/ -1) X (2/г -1). Из соотношения
UgA = AUg
П. 9] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
209
вытекает, что
UgiA^', = Aji'dfgi. (ЗГ)
Из этого равенства в силу общей леммы Шура (см. § 1, п. 7) следует, что
матрица Ajy либо равна нулю, либо является квадратной невырожденной
матрицей. В последнем случае представления U\\ и Uxgy эквивалентны,
следовательно, 1 = 1' и матрица Ац имеет вид
А'й' = А}' Ьц',
где 8ц' = 1 при 1 = 1' и оц' = 0 при I ф I'.
Далее, так как представления Ugi и U'gi эквивалентны, то их матрицы,
записанные в каноническом базисе, совпадают, т. е.
Равенство (31) принимает вид
UlxAf = А? ЩЬ
т. е. матрица А]г перестановочна с матрицами Ugi неприводимого
представления группы вращений. Такая матрица, как мы знаем, кратна
единичной
"Тт' ТТ' г*1
At = аг Е.
Отсюда для матричных элементов aTmVm' получаем окончательное выражение
^ i ini'т'== (r)тт'?>1Г' (32)
Отметим, что при выводе формулы (32) мы пользовались только тем, что
матрица А коммутирует с матрицами представления группы вращений.
Таким образом, матрица всякого оператора, коммутирующего с операторами из
представления группы вращений, или, что одно и то же, с
инфинитезимальными операторами Н+, Н_, Нй этого представления, в
каноническом базисе {н|т} имеет вид (32).
Полученной формулой (32) мы будем часто пользоваться в дальнейшем.
Нам осталось теперь найти вид чисел а,Г ¦ Воспользуемся теперь
соотношением 2) из (31), которое можно переписать так:
foS", = (33)
для любой пары базисных векторов ?jm и Цт>. Подставляя в (33) выражение
для Е3 (см. (13)) и раскрывая (33) с помощью (26) и (32),
210
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
мы придем к следующим равенствам:
A}aT'=AU?', ¦ (34)
С}аТ = -CU?- ь (35)
С1'аГ' = -С]аГ11. (36)
Из этих равенств и из формул (16) получаем, что аТ ^0 и
Gi-i ф 0
только при
Ух lo'h - 0'
2,0 /2 /2 h "I- h = h "I- h ¦
Отсюда следует, что
(4 /0 = (У -4 [или (4. i[) = {-la, У].
Так как мы предполагаем, что форма (ф1( 62) не вырождена, то
для
каждой компоненты т представления g-+Тд найдется такая компонента т*, что
af'~ ф 0 при всех /. Таким образом, инвариантная невырожденная билинейная
форма может существовать лишь в том случае, если в представлении g-^Tg
наряду с каждой неприводимой компонентой т, определяемой числами (10,
Zj), содержится неприводимая компонента т*, определяемая числами (/0, -
/х). В частности, если представление g -> Тд состоит из одной компоненты,
т. е. если это представление неприводимое, то инвариантная билинейная
форма существует лишь при условии (/0, /j) = ^t(/о, -h), т. е. либо 1)
1г- чисто мнимое, а /0-любое целое или полуцелое, либо 2) вещественно, а
/о=:0*).
Заметим еще, что если представление g -> Тд (для которого инвариантная
невырожденная форма существует) содержит несколько эквивалентных между
собой компонент Tt, ..., zn, то оно должно содержать столько же
эквивалентных между собой компонент
* ' ' ' *
Определим теперь числа сц '. Из (35) имеем:
Cf ^
ai -------------1- (37)
*) Интересно сравнить полученный результат с результатами предыдущего
пункта, где отыскивались условия унитарности неприводимого представления.
Унитарность означает существование инвариантной эрмитовой положительно
определенной формы. Полученные там дополнительные ограничения во втором
случае (10 = 0, lt вещественно и | li | ¦< 1) связаны с положительной
определенностью формы, задающей скалярное произведение.
П. 9] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
211
ч
Поскольку - - zt 1 (см. формулу (16)), ТО
С1
. 'S't* /Г,п\
й] - ± а ¦ (38)
Заметим, чго в случае конечномерного представления (1г действи-
Cf
тельно н I < j к I) отношение -- можно считать положительным
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed