Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
предполагать, что это выполнено и обозначим:
Для определения чисел Аг и Сг воспользуемся теперь соотношениями
коммутации между F3 и F+: [F + ,F3] - Fl3. Подставляя сюда F+, F3, Н3 и
приравнивая коэффициенты при одинаковых векторах %1т, получим такие
равенства:
Однако
di,i-1 ^1-1,1 ^г', dn Аг.
Тогда формулы (4), (5), (6) перепишутся так:
F3km = CiVl2 - m2h-h т - -
- Cl+1 - m%+Um, (7)
F+^Zm- O' til) (I ttl 1) Xi - l, m+l
- Al V (I- m) (l Ч- m H~ 1) h, m+1 ~b
~\~Ci+1 ~\f (/ -f- tn -j- 1) (7 -|- m -f-2) Si+i, m+i, (8)
- Al V(^ Ч- m) (I- m 1) h, m - 1 -
- Cl+1 V{I - m + 1) (/ - m + 2) h+1, rn-1- (9)
И,(*+1)-(/-iMi_i]C, = o. |
[Ai+i{l-\-2)-lA^Ci-t-1 = 0, 1
(2z-i)q-(2/+3)q+1_^=i. )
[
(10)
*) Для этого достаточно положить
где /0 - наименьший вес, участвующий в представлении.
198
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч. II
- Н_ пои-
Остальные соотношения [/^3, /='_] = - 2На и [F , F3] = водят к тем же
равенствам.
Вычисление А,. При Сг +0 два первых равенства (10) озна чают, что
Лг(/+1) = (/ - 1)+^,
Aj_il - {I - 2) 2.
и т. д.
Aio+i (/о Ч~ 2) = 10А1о, где 10-наименьший вес, участвующий в
представлении. Отсюда
Аг /оС'о + 1)
А,
1(1+ О
А; можно, очевидно, выбирать произвольно. Ради симметрии в последующих
формулах удобно положить Ai,(l0+-\) = il1. Тогда получим:
A'=n!'h-
Вычисление С.. Умножим обе части последнего из равенств 10) на 2^ -f- 1 и
подставим найденное значение А,:
(4/г _ 1) с? - [4 (I + I)2 - 1 ] С?+1 = 2/ + 1 - U f-i- - (7~-т^г] •
Если выписать все эти равенства от l~\-1 до 10 и сложить, то получим:
v=i
1
¦[4(/+1)-1]С?+1 = ^ (2/7+1)-
,2,2
¦
1
После небольших преобразований находим:
[(/+ 1)^ -[(/+ 1)H -/f]
ч+l- + [4
Окончательно для С, получаем выражение
*2) (**-*!) *}
/о
4/2-1
(12)
*) Формула (12) определяет числа Cj с точностью до знака. Однако
преобразованием канонического базиса ?,т вида
Чт = (~ (01 = ОТ)
мы можем всегда добиться, чтобы
i arg QKy.
В частности, если С, вещественно, то мы можем считать его положительным.
П. 4] § 2. ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ СОБСТВЕННОЙ ГРУППЫ
199
Сделаем теперь следующее замечание. При выводе формул (11) и (12) из
равенств (10) мы предполагали, что Q +ь С; +2,..Q не обращаются в нуль.
Покажем, что такое требование для неприводимого представления всегда
'выполнено. Пусть какое-то из Сг первый раз обратилось в нуль: Сг = 0, /
= /0 -(- /г -1. В этом случае, как видно из формул (31, (4) и (5),
пространство R, образованное векторами \h ,п) {д+i, т\ ••• {к +п,т}>
инвариантно относительно операторов Н+, Н _, Н3, F\, F _, F3, а
следовательно, инвариантно относительно всех операторов представления Тд.
Поскольку представление g->Ta неприводимо, то R совпадает с R и другие
веса / > /0 -(-" в представлении пе участвуют. Таким образом,
действительно, для всякого веса />/0, участвующего в неприводимом
представлении, Сгф0.
Итак, получаем окончательную запись операторов F+, F_ , F3:
Таким образом, всякое неприводимое представление собственной группы
Лоренца определяется парой чисел (/0, /д) (/0 - положительное целое или
полуцелое, 1г - произвольное комплексное число),
's? + l5 т j
(13)
F + km = Ci V\l т) (1- !п 1) сг-l, т + \
Аг ]/" (I ni) (I т -\- 1)т.,..\ -|-
+ Сг+1 V+ !) (J + " + 2) k + i, т+и (Н)
Т7 _Slm - - Ci~\f (I -f- т) (/ ~\- ГП 1) %i- д m-\ -
Я, - 1, m - 1
A ~V(l m) (7 m-\~ 1) к, m~\ -
- Cz+1 V(!-m.+ + m-x, (15)
A
(16)
(17)
(18) (19)
Нфш = /(/ + "+!)(*- m) M+1,
н Jplrn - ~Vd- ~Ь m) (7 r:l +1) k, от -1 .
+r-lm
m - - I,
/+ 1, . . ., I-I, I.
200
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
и его инфинитезимальные операторы в каноническом базисе {11т\ имеют вид
(13)-(19).
Заметим теперь, что при одновременном изменении знаков у чисел пары (/0,
/О : (/0. Л)->(-А" -У ВИД формул для инфинитезимальных операторов не
меняется. Будем поэтому задавать неприводимое представление как парой
(/0, /х), так и парой (-/0, -/j). Очевидно, что два эквивалентных
неприводимых представления определяются одной и той же парой (=t/0> -У и
их инфинитезимальные операторы в канонических базисах записываются
одинаково.
В заключение этого пункта сделаем следующее замечание.
Полученные формулы (13)-(19) для инфинитезимальных операторов Hs, Н+, Н_,
F3, F+, F_ неприводимого представления являются общим решением
коммутационных соотношений (I-XV) (для случая, когда пространство, в
котором действуют эти операторы, неприводимо относительно них). Поскольку
инфинитезимальные операторы всякого представления удовлетворяют
соотношениям (I -XV), мы можем быть уверены что для всех неприводимых
представлений собственной группы Лоренца инфинитезимальные операторы
имеют вид (13)-(19). Обратное же далеко не очевидно: всякие ли шесть
операторов, задаваемые формулами (13)-(19), служат инфинитезимальными
операторами некоторого неприводимого представления? Другими словами, для
всякой ли пары (/0, /х) (/0 - целое или полуцелое, 1Х - произвольное
комплексное число) действительно существует определяемое ею
