Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
сг
ТХ*^
(см. сноску на стр. 198), т. е. для конечномерного представления аг - - -
0,1 - 1-
Числа схт* = а^т*' могут быть любыми. Различным наборам этих чисел
соответствуют различные билинейные инвариантные формы. Подведем итог
всему сказанному.
Представление собственной группы Лоренца g -+Тд допускает инвариантную
невырожденную эрмитову билинейную форму в том и только том случае, когда
в этом представлении число неприводимых компонент т, определяемых парой
(/0, к), совпадает с числом неприводимых компонент т*, определенных парой
(Z0, -Zt) (или и тех и других-бесконечное число). При этом сама
инвариантная невырожденная эрмитова форма в каноническом базисе { йт\
представления g-*¦ Т имеет вид
0W> Фг) = 2 ^*sfxlnyt, (39)
где }хгш) и {у!*-,} - координаты векторов и б2 в
каноническом
базисе. Здесь sT - 1, причем для конечномерных представлений
можно положить si'' = (-l)[Zjl; числа а?** - а~''н произвольны, с
I ¦ 1
тем, однако, условием, чтобы матрица |JaVj|i' где-ту, т2, ..., zn-
набор всех эквивалентных между собой компонент (равно как и
набор Т], ..., т,,), была невырожденной.
В том частном, но важном случае, когда представление
g -> Тп собственной группы состоит из двух неприводимых ком-У f /
понент х -- (/0, Iх) и z'- (Zo, h), инвариантная невырожденная эрмитова
форма существует тогда и только тогда, когда пары (.10, к) и (Zo, t\)
связаны соотношением {Iq, k) ~-±z(l0, -Zx); иными словами, из двух
величин, преобразующихся по неприводимым представлениям z и z'
собственной группы Лоренца, можно составить невырожденную инвариантную
эрмитову форму в том а только том случае, когда эта представления
задаются парами
т_~(/0, /О, *' = т*~(7з, - к)-
Заметим, что, перейдя в R к новой системе координат, мы можем привести
нашу форму к некоторому более простому виду.
Действительно, пусть ту, ...,ти- эквивалентные между собой компоненты,
определяемые парой (Z0, l\), a xp ..., in - эквивалентные компоненты,
212 ГЛ, 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [ч.
I!
отвечающие паре (/о,-It). Инвариантная невырожденная форма может
существовать, лишь если тех и других компонент имеется одинаковое число
(может быть, и бесконечное).
Выбрав векторы
= 2 " (тЛу) (IL
3
за новые координатные векторы в пространстве, натянутом на векторы f3^}
мы всегда можем добиться того, что
ач = 5у. (40)
Точно так же, если tj, ..., хи- совокупность эквивалентных компонент, для
которых эквивалентно х^, то, вводя новые векторы
мы добьемся того, чтобы
aVy = ±3i7. (41)
Приведение билинейной формы к описанному виду вполне аналогично
приведению квадратичной формы к сумме квадратов.
§ 3. Представления полной и общей групп Лоренца*)
1. Предварительные замечания. Напомним, что полная группа Лоренца
получается из собственной группы Лоренца добавлением пространственного
отражения, т. е. преобразования s с матрицей
-1 0 0 0
0 -1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 1
и всевозможных произведений вида sg', где g' - собственное преобразование
Лоренца. Преобразования вида sg' будем называть несобственными
преобразованиями Лоренца.
Пусть задано какое-нибудь представление полной группы Лоренца g ->¦ Тд.
Тем самым возникает и представление собственной группы g' -*¦ Тд'.
Обозначим через S оператор, соответствующий отражению s, s-> S (S2 = E).
Тогда каждому несобственному преобразованию Лоренца sg' соответствует
оператор STg'. Пусть по-прежнему Н+, Н_, Hit F+, F_, Fз -
инфинитезимальные операторы представ-
*) Этот параграф помещен здесь по логике изложения, однако мы рекомендуем
читателю при первом чтении его опустить и сразу перейти к четвертому
параграфу.
П. 1] § 3. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ И ОБЩЕЙ ГРУПП ЛОРЕНЦА 213
ления g' -> Тд: собственной группы. По этим- операторам представление g'
->¦ Тд: однозначно восстанавливается. Для того чтобы получить
представление g-+ Тд полной группы, нужно знать еще, как действует
оператор S. Итак, представление полной группы задается анфинитезималъными
операторами Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 и оператором S, соответствующим
отражению s.
Напишем соотношения коммутации между операторами Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3 и
S. Поскольку отражение перестановочно с вращениями, то и оператор S
коммутирует с операторами, соответствующими вращениям. Следовательно,
имеют место соотношения
SH+S~l = H+, SH_S~1 = H_, SH3S~1 = Ha. (1)
Если рассмотреть преобразования в плоскостях (х0, х^, (jc0, х2), (х0,
х3), то можно легко убедиться, что для этих преобразований имеют место
равенства s-1gr0fes = g-~ft1 (k- 1, 2, 3) (gok-собственное преобразование
Лоренца в плоскости (х0, хк)).
Аналогичные равенства возникают и для операторов Тд и S
Отсюда для инфинитезимальных операторов получаем:
SF+S~1 = - F+, SF_S~1= - F_, SFtS'^ - Fi. (2)
В следующем пункте мы найдем вид операторов Н+, Н_, Нъ, F+, FF3 и 5 для
неприводимого представления полной группы Лоренца.
Сделаем предварительно следующее замечание. Пусть в пространстве R
действует представление полной группы Лоренца g ->Тд (приводимое или
