Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
X — XхЄІ'.
(6) ТЕНЗОРЫ В АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
47
Подставляя в (1) выражения (3) и сравнивая с (6), находим искомый закон преобразования аффинных координат вектора
Xі' = AiiXi. (7)
Таким образом, при аффинном преобразовании репера (2) аффинные координаты вектора преобразуются по формулам (7), т. е. при помощи транспонированной обратной матрицы исходного преобразования.
Iia примере аффинных координат вектора видны все преимущества и недостатки координатного метода. Действительно, введение аффинного репера, фиксирующего некоторую систему координат, позволяет приписать каждому вектору вполне определенные координаты, к которым можно затем применять методы алгебры и анализа. Но так как координаты вектора различны в различных координатных системах, то встает задача о таком математическом аппарате, который исключал бы влияние случайного выбора координатной системы. Эта задача решается применением тензорного анализа. Тензоры представляют собой системы величин, преобразующихся по простому линейному закону при переходе от одной координатной системы к другой. Между тензорами определяются операции инвариантного характера, т. е. не меняющие своего вида при преобразовании координатной системы. Все соотношения, записанные в тензорной форме, сохраняют свою форму в любой координатной системе, и тем самым исключается влияние выбора системы.
Математически тензор валентности к -f- Z, к раз кова-риантный и I раз контрвариантный, определяется как совокупность пм величин <ц\... \1к , заданных в любой координатной системе и преобразующихся при переходе (2) по закону
4"j =4 (8)
V"1» 'і Jl \ \ 1I-1Jfc V '
Нижние индексы, для которых закон преобразования совпадает с исходным преобразованием репера (2), называются ковариантными. Верхние индексы преобразуются по закону (7) и носят название контрвариантных, 48
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
Для одновалентного ковариантного тензора имеем просто
av = Alaij (9)
в то время как для одновалентного контрвариантного тензора будет
а>' = A'laK (10)
Аффинные координаты вектора представл йот, таким образом, пример одновалентного контрвариантного тензора.
Основными алгебраическими операциями над тензорами являются сложение, умножение, свертывание и подстановка индексов. Первые две операции обобщают соответствующие операции векторной алгебры. Надо только иметь в виду, что операция сложения возможна лишь для тензоров одного и того же строения, а результат операции умножения, определенной для тензоров любого строения, зависит от порядка сомножителей (поскольку в понятие тензора входит и порядок нумерации его компонент). Операция свертывания, возможная для тензора по крайней мере с одним ковариантным и одним контрвариантным индексами, состоит в том, что выбираются все компоненты данного тензора, у которых определенный верхний индекс равен определенному нижнему. В результате этой операции получается новый тензор, валентность которого на две единицы меньше валентности исходного тензора. Наконец, операция подстановки индексов позволяет получать новые тензоры путем изменения порядка написания верхних или нижних индексов.
Частными случаями операции подстановки индексов являются симметрирование и альтернация. Симметрирование состоит в том, что выбирается N одноименных индексов и составляется среднее арифметическое из ЛИ тензоров, получаемых всевозможными Nl подстановками выбранных индексов. Альтернация производится аналогичным образом, но тензоры, соответствующие четным подстановкам индексов, берутся со знаком плюс, в то время как тензоры, соответствующие нечетным подстановкам, берутся со знаком минус. Результатом симметрирования является тензор, симметричный относительно выделенных индексов, а в результате альтернации возникает тензор, кососиэд- § 1]
ТЕНЗОРЫ В АФФИННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
49
метричный по этим индексам (меняющий знак при нечетных подстановках избранных индексов и сохраняющий знак при четных). Например, трехвалентный ковариантный тензор ацк переходит при симметрировании по всем трем
индексам в симметричный тензор \
a>(ijk) = "3J- (aijk + aJki akiJ + aHk + aikj + akii)i а при альтернации — в кососимметричный тензор
I
a[ijk) = -3Р (otiife + ajki + akij — aJik — aikj ~~ aJcji)-
До сих пор речь шла о тензорах, заданных в одной точке пространства An. Если тензор, описывающий некоторый геометрический или физический объект, задан в некоторой области пространства An, то его компоненты являются в общем случае функциями от координат точки области
что позволяет говорить о тензорном поле. Для тензорных полей, помимо перечисленных выше алгебраических операций, возможна инвариантная операция абсолютного дифференцирования. Если в области определения тензора проведена некоторая кривая хг = хг (I)1 то компоненты тензора вдоль этой кривой являются сложными функциями параметра t и операция абсолютного дифференцирования, определяемая соотношением
приводит к тензору того же строения, как и исходный.
Коэффициенты при dx{
