Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
паЧ d$fl ndle дід
ctg і д [A] cosec і
па* УГ^
cosec і д [/?]
па1
1/т
dj?i dQ
dQ__
dt ~~ na2 У 1-е2
d(0
dt = ~
ctgi
d[R] , /і-е* <?[/?]
"|/"l — e2 ді
де
dt
l—e*d[R] 2
па2е
де
па да
Irm
\ дг J
(63)
где квадратные скобки означают осреднение по быстро меняющимся переменным.
§ 4. Возмущения от несферичности центрального тела
Помимо возмущений от третьего тела типичными возмущениями в задачах небесной механики являются и возмущения, обусловленные несферичностью центрального тела. В этом параграфе приводится общее выражение соответствующей пертурбационной функции, которое затем применяется к нахождению вековых возмущений от сжатия тела.
Пусть в травитационном поле вращающегося несферического центрального тела движется спутник Р. В отсутствие возмущающих тел за основную плоскость отсчета естественно принять плоскость экватора центрального тела. Если же есть возмущающие тела и возмущения от них более значительны, чем возмущения от несферичности центрального тела, то выбор плоскости экватора центрального тела в качестве основной плоскости является неудобным. Поэтому ниже плоскость отсчета остается произвольной. 40 ЭЛЕМЕНТЫ ньютоновой НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
В качестве основной системы координат примем неподвижную прямоугольную систему Xyzi у которой ось X направлена в точку начала отсчета долгот, плоскость ху определяет плоскость отсчета, а ось z направлена в северный полюс этой плоскости.
Рассмотрим, далее, подвижную систему прямоугольных координат x'y'z', жестко связанную с вращающимся центральным телом. Ось х' направлена в подвижную точку начала отсчета долгот в этой системе, плоскость х'у' совпадает с плоскостью экватора тела, а ось Zt направлена в
северный полюс этой плоскости. Обе системы координат — правые и имеют начало в центре тяжести центрального тела. Взаимное расположение осей я, у, гих', у', z' будем характеризовать тремя углами Эйлера: наклоном I экватора тела к плоскости отсчета, долготой Г восходящего узла N экватора тела на плоскости отсчета и угловым расстоянием % — Г оси Xf от узла N (рис. 2). Пусть йий' — отсчитываемые от оси X долготы восходящих узлов орбиты P на плоскости отсчета и на экваторе тела, а і и і' — наклоны орбиты к этим плоскостям. Положение самой точки P характеризуется в системах xyz и x'y'z' широтами ?, ?' и долготами A,, X/, причем первая долгота отсчитывается от оси X1 а вторая — от оси х'.
Стандартное разложение по сферическим гармоникам пертурбационной функции от несферичности центрального
ЭкВат
Плоскость отсчета
Рис. 2. S 4] ВОЗМУЩЕНИЯ OT НЕСФЕРИЧНОСТИ ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА 41
тела дает
оо к к
Я = Vn0 S S -^r (Cki cos A'+ Ski sin A')/>ki(sin ?'), (64) к =1 ;=0 г
где /Ti0 и г0 — масса и средний экваториальный радиус центрального тела, Ckj и S1jtj- — численные коэффициенты, характеризующие отклонение структуры тела от сферической, г — радиус-вектор точки Р, Pkj (t) — присоединенные функции Лежандра с целочисленными индексами
PtM = (I" ff* -^?-, (0</< А),
atJ
где Pk (t) — полином Лежандра. В функции от элементов орбиты разложение (64) принимает вид
R = т*.2 S2S(-i)l|J 1 X
fc ==i 5=0 i=—fc 8=о
X-^rAtjl(J)Pwi(J)X
X {Cki cos [(к - 2s) и +1 (Q - Г) - j (X - Г) - Vki-J] +
+ Ski sin [(& _ 2s) ы + J (Q - Г) - / ft - Г) - Vki -f-] }, (65)
где и — аргумент широты и
_ _J 0, к — j =
yW-I 1, = :
2р+1.
Дальнейшее разложение в ряд Фурье по кратным средней аномалии M приводит к
«> к * * <*> „ Л , „f*—, . „
*= ^SS 2 2 2
Ic =X ;=0 ?=—fr 8=3 q =S-OO
X (-^)* ЛкіІ (I) Fku (і) XkI^Hk-2' (е)\Ckj cos X
х[(А- 2s+g)Af+(A - 2s)(D+Z(Q- Г)-/(Х- Г)-Vkj-5-] +
+Ski sin[(A:—2s+g)JkT+(/c—2s)co+Z(Q—Г)-/(Х- Г)-Vki J]}.
(66) 42 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
В формулах (65) и (66) Fku (і) — функции, уже встречавшиеся в предыдущем параграфе, a Akji (I) — несколько более общие функции
(I)k-I (•—*•— J)тах{0 ( & + /)щахto, 1-і) ^
a^ (/)= Ifj^ х
X (sin I)1-" (cos F(1 If-1,+ ^lf+ I1-,,
l + * + + f l/ + *l, 1 + 1/-11, sin2!), (67)
так что FkJiii) =
E (^)+шах 2*-*
= (-1) V 2 ^ -7?^- і. *-.« (О-
(68)
Если плоскость отсчета совпадает с плоскостью экватора центрального тела, то / = 0, а так как AkJl (0) = = бто суммирование по Z в (65) и (66) исчезает и в этих разложениях становится одним угловым аргументом меньше. Заметим еще, что при учете членов с J = 0 (зональные гармоники) в (65) и (66) суммирование по Z упрощается заменой
к к
S -^2(2-^,0)-
I=-Jc J=T0
Применим это общее разложение к нахождению вековых возмущений, обусловленных коэффициентом C2O, т. е. зависящим, в основном, от сжатия центрального тела. Осредняя R по средней аномалии M и учитывая, что Xo3,2 (е) = 0, получаем
[Я] = -2JT AC2qX?* (*М2оо (Л ^oi (0 - 2А201 (I) F211 (і) X X cos (Q — Г) — 2A202 (I) F221 (і) cos 2 (Q — Г)], (69) § 4І ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ НЕСФЕРИЧНОСТИ ЦЕНТРАЛЬНОГО ТЕЛА 30
где
XJf-0W «(І-ОЛ
^200 (/)= 1 -4 Sin2 /, A501 (/)=--1 Sin 2/,
