Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
29
дам построения приближенного решения. Простейший и наиболее распространенный способ состоит в подстановке в правые части (50) постоянных значений элементов и невозмущенного значения М. Тогда непосредственное интегрирование дает возмущения первого порядка относительно малого параметра — отношения возмущающей массы т! к массе Солнца (принятой здесь за единицу). Каждый из элементов а, е, i, Q, со и средняя аномалия M представятся в виде
Q = Qo + o<?, M = SR0 + n0t + ЬМ,
где Q означает любой из элементов, время t отсчитывает-ся от некоторого момента ^0, (?<, и SW0 — постоянные величины. Приращения бM являются функциями времени и вычисляются из уравнений (50) с начальными значениями элементов Q0 и невозмущенным значением средней аномалии Wl0 + n0t. Каждую из этих функций можно представить в виде
O<? = o<?s + bQi + o<?p. (51)
Приращения SQ8 охватывают вековые члены, получающиеся из (50) при нулевых значениях всех пяти индексов суммирования. Такие члены присутствуют лишь в угловых элементах Q и со и средней аномалии:
т' cosec і дЛооооо . Oi^s = Т—;--г а —— nt,
s I т Y і_е1
6«»,+ cos »Q.-Tf^.^-. OMS + + cos ioQ») = _ jJZL 2a? nt.
1-|- ra da
(52)
В силу свойств коэффициентов А делители sin і и е в первых двух выражениях (52) сокращаются при фактических вычислениях. Вековые члены (52) не приводят к вековым членам в координатах или скоростях, так как Q, со, M входят в выражение общего решения задачи двух тел лишь под знаком тригонометрических функций. 30 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
Вторая группа бQi порождена теми членами уравнений (50), которые содержат по крайней мере один из угловых аргументов са, со' или ?2 — Q' и не содержат средних аномалий (q = q' = 0). При избранном методе интегрирования эти члены также выступают как вековые члены, изменяющиеся прямо пропорционально времени. Однако их уместно называть квазивековыми, так как при другом способе интегрирования уравнений (50) они принимают вид тригонометрических членов очень долгого периода, порядка периода изменения долгот перигелиев и узлов на 360°. Действительно, после нахождения вековых членов (52) в правые части уравнений (50) можно подставить значения М, со, Q (и аналогично для возмущающей планеты) с учетом вековых членов. Тогда каждый угловой аргумент разложения (45) будет представлять собой линейную функцию времени, хотя частоты изменения со, со', Q-Q' будут гораздо меньше частот изменения M и Mf.
В большой полуоси а такие члены отсутствуют. Во всех остальных элементах они присутствуют и при первом способе интегрирования имеют вид:
а тп' У1-Ге2 ^ л • а
°el = Г+~т-Є-П & aAM*s'jS Sin U00SS';,
« . TYl' cosec І . А ,. .4 . Л
Oll = Y+m y-j—2 nt 2j аЛ°0вв'і 0 — 5 COS l) Sin Goos.';,
O(oj + cosIdQl = j-qp-^ ^1"*3nt 2 « дГ' cos0oo«'i, bMt + У 1-е2 (6 щ + cos i&Qi) =
=- TT^ nt 2* «2 d^Jp- cos W
(53)
где звездочка при сумме означает, что суммирование происходит лишь по трем индексам s, sf, /, не равным одновременно нулю. Делители е и sin і в bet ж Sil сокращаются при фактических вычислениях. В 8QZ при значе- ВОЗМУЩЕНИЯ ОТ ТРЕТЬЕГО TEJIA
31
ниях ?-7 = +1 остается делитель sin у, при S + / =
= + 1 — делитель cosy, а при одновременном выполнении этих условий — делитель sin І. В 8сDj делитель е остается при $ = +1. Квазивековые члены, появляющиеся в Ьег и Ыь приводят к вековым членам в координатах и компонентах скорости. Однако это ни в коем случае не отражает действительную эволюцию движения, а является лишь следствием принятого способа интегрирования. Полученное таким образом приближенное решение пригодно на ограниченном промежутке времени, и никаких выводов относительно реальной эволюции орбит отсюда сделать нельзя.
Интегрирование, приводящее к квазивековым членам (53), часто применяется в задаче о движении больших планет Солнечной системы. Так как движения перигелиев и узлов планетных орбит чрезвычайно малы по сравнению со средними движениями планет, то этот способ дает экономное и очень хорошее приближение к реальному движению на протяжении нескольких сотен лет. В спутниковых задачах* типа движения Луны, где перицентр и узел орбиты движутся вековым образом гораздо быстрее, такой «планетный» способ интегрирования оказывается слишком грубым. В подобных задачах процесс приближения лучше Строить в соответствии со вторым способом интегрирования уравнений (50), при котором в бе и б і, а тем самым в координатах и скоростях не возникают вековые члены. Получаемое этим путем решение имеет чисто тригонометрическую форму относительно времени и с формальной точки зрения пригодно на неограниченном интервале времени. Однако на основании такого формального решения тоже пельзя делать никаких выводов эволюционного характера. Лишь самые современные методы аналитической и качественной небесной механики могут в некоторых случаях дать математически обоснованный ответ.
Последняя совокупность возмущений bQp охватывает все те члены уравнений (50), для которых q и q' одновременно не обращаются в нуль. При интегрировании последнего из уравнений (50) надо иметь в виду, что величина п в левой части вычисляется с учетом возму 32 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
