Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
gij(M) = Xi(M)Xj(M) (46)
и, таким образом, является функцией точки. Если Xі = Xі (t) — некоторая кривая в Rn и х = х (х1, . . ., хп) — радиус-вектор точки кривой, то по правилу дифференцирования сложной функции дифференциал радиуса-вектора определяется выражением
dx = x{dx\
а касательный вектор
dx _ dx{
имеет относительно локального репера координаты (IxiIdt. Квадрат дифференциала дуги ds2 = dx2 выражается метрической квадратичной формой
dsа = gi?xldx\ (47) РИМAHO ВЫ ПРОСТРАНСТВА
63
откуда для длины дуги следует
^mv еЛж*-
и
Задание метрического тензора gили метрической формы ds2 полностью определяет всю геометрию пространства Rn и, в частности, позволяет найти коэффициенты связности. Из (43) умножением на Xx получается
XiiXl = Tltii, (48)
где обозначено
Г,.«, <«)
Из (49) следует, что
Tkij = SklTltij. (50)
Поэтому, хотя коэффициенты связности не являются тензорами, формальные операции (49), (50) опускания и поднятия индексов для них сохраняются. Дифференцируя по хт равенство хкхг = gki и учитывая (48), находим
= lm + Tli кт. (51)
Круговой перестановкой индексов /с, I1 т получаем еще два аналогичных соотношения, которые в результате дают искомые выражения
г .-!(dJlL^dIlL-dIiL] оч
"2" Il^+ e? 'I?)- <53>
Величины Ttlij и Tfeij- называются еще символами Кристоффеля первого и второго рода соответственно.
§ 5. Римановы пространства
Всякую открытую связную область в A71 можно рассматривать как множество элементов, допускающее взаимно однозначное отображение на область изменения криволинейных координат Xх или хх\ связанных преобразованием 64
ЭЛЕМЕНТЫ РИМА H Oft ОЙ ГЕОМЕТРИИ
ІГЛ. 2
(38). Поскольку рассматриваемая область принадлежит пространству то существуют некоторые особые, а
именно аффинные координаты, определенные с точностью до линейных преобразований. Если же отказаться от выделения аффинных координат, то указанная область представит собой пример элементарного многообразия.
В общем случае под элементарным многообразием га измерений и порядка N понимается множество Wini для которого задано взаимно однозначное отображение на область изменения га переменных я1, причем эти переменные определены лишь с точностью до N раз непрерывно дифференцируемого преобразования (38).
Тензор в точке M элементарного многообразия определяется как система чисел, заданных в каждой системе координат Xі и преобразующихся при переходе к новым координатам по закону (40). Но в An эти числа имеют смысл координат тензора относительно некоторого локального репера и исходным является не преобразование самих координат (38), а преобразование репера (39). В многообразии нет векторов, нет поэтому и локального репера. Но его можно построить в касательном аффинном пространстве, которое вводится следующим путем.
Рассматривается произвольный тензор в точке M многообразия и строится пространство A711 имеющее начало системы координат в точке M и обладающее тем свойством, что каждому тензору соответствует вектор % и линейным операциям над тензорами в точке M соответствуют такие же линейные операции над векторами I в An. Такое пространство An и называется касательным аффинным пространством. Его геометрический смысл состоит в том, что всякому бесконечно малому смещению по кривой Xх = Xх (t) в многообразии 9ЯП будет отвечать в касательном пространстве An бесконечно малый вектор dx (поскольку дифференциалы dxx == dx* (t) образуют одноконтрвариантиый тензор) и этот вектор определяет соответствующее ему смещение с точностью до малых первого порядка включительно. Если в системе координат Xх в точке M многообразия Шп заданы га тензоров
(J = 1, . . ., га), причем ?(г;) = Sj1 то соответствующие им векторы Ij- в касательном пространстве An образуют л о- РИМАНОВЫ ПРОСТРАНСТВА
65
кальный репер. С введением локального репера в касательном аффинном пространстве An компоненты тензоров Bf7lB координатах хг можно трактовать как координаты тензоров в An относительно локального репера, соответствующего координатам Xі.
На основе элементарного многообразия SJERn путем добавления определенных аналитических или геометрических конструкций строятся разнообразные классы геометрических пространств.
Многообразие Wln, в каждой точке которого задан дважды ковариантный симметричный и невырожденный метрический тензор gij (M) = gij (ж1,. . хп), называется римановым пространством Vn. При помощи тензора g^ (M) касательное аффинное пространство An в точке M переходит в евклидово пространство Rn путем введения для любых векторов х, у скалярного произведения
жу = g{j (M) XіуК (54)
Вещественное риманово пространство Vn делится на собственно риманово и псевдориманово — в зависимости от того, является ли его касательное пространство Rn собственно евклидовым или псевдоевклидовым. Если Xх — = Xх (t) — кривая в V711 то бесконечно малому смещению по ней отвечает бесконечно малый вектор dxx (t) в касательном пространстве Rn и длина этого вектора
\dx\ = Yd*? = YgiJdxtdxi
принимается за дифференциал дуги, так что преяшяя формула (47) для квадрата дифференциала дуги остается в силе.
