Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
^202 (Л = 4"Sin2/'
^201 (І) = - у (і - у Sin2 і) , F211 (і) = - "І Sin 2г, ^221 (0 = у Sin2 і.
Поэтому из уравнений Лагранжа для оскулирующих элементов следует, прежде всего,
da _ de _ л
~dt ~ ~dt '
Уравнения для і и Q сводятся к канонической системе с одной степенью свободы:
rfcost __ 1 а [Л] .
dt ~~ па1 /1-е2 д® '
<to =__1 д[Щ (70)
л /ша /1-е3 dcosi <
или в явном виде
W = -T ("Т")* С*о T^f Isin 27 cos i sin(Q-r)+
+ sin2 /sin і sin 2 (Q — Г)], (71) dQ 3 mo / ro\2 n n 17, 3 . 8 r\
= (i-gy Li1 -Tsm 7Jcost~
- Y cos 2і cos (О — Г) — у sin21 cos і cos 2 (Q - Г)].
(72)
Если считать, что / и Г не зависят от времени, то решение системы (70) можно легко получить в квадратурах. После этого аргумент перицентра и средняя аномалия в 44 ЭЛЕМЕНТЫ НЬЮТОНОВОЙ НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКИ [ГЛ. 1
эпоху найдутся квадратурами из уравнений <1(й 3 mn
(TNTrVK1-T*")*
dt 4 то-\- т X (1 — 5 COS2 i) + Sin 21 Ctg і (5 COS2 і — 4) cos (й — Г) +
+ у sin21 (5cos2 і — 3) cos 2(й —- Г)], (73)
ТГ~ЛГ[Я1. (74)
В экваториальной системе I = 0, и возмущения значительно упрощаются. Поэтому иногда бывает удобно найти возмущения в экваториальной системе координат, т. е. в элементах V, со', Q', а затем перейти к элементам і, со, й. Действительно, по формулам сферической тригонометрии имеем:
cos і = cos і' cos I — sin V sin I cos (Q' — Г), sin і cos ((0 — (o') = cos I sin і' + sin I cos V cos (Й' — Г), sin і sin ((0 — (o') = sin I sin (Q' — Г), (75)
sin і cos (Й — Г) = sin I cos + cos I sin i' cos (Й' — Г), fiin і sin (й — Г) = sin V sin (Qf' — Г).
Обратный переход от і, (о, й к і', о/, й' совершается по этим же формулам с переменой ролей штрихованных и нештрихованных величин и заменой / на — I. Дифференцирование (75) дает
4 - COS (со - СО') + COS (й - Г) 4 -
- sin / sin (й - Г) d(Q'd~T), (76)
d (Q — Г) _ Sin(Q-A)O di' cos і sin (Q — Г) dl ЗІ sin і dt sin і dt '
, sin V cos (0) — <bQ d (Q/ — Г) Sin і dt
d(G) — ©0 cos 1 sm (03 coO dt' , sin (Q — Г) dl
dt sin і dt ' sin і dt '
M sin I cos (Q — Г) d (Q/ — Г) ' sin і dt
(77)
(78)
Во многих задачах I и Г можно считать постоянными, то значительно упрощает использование этих формул. ГЛАВА 2
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Тензоры в аффинных пространствах
Аффинное пространство представляет собой множество точек и векторов, операции над которыми производятся так же, как в обычной векторной алгебре. Это пространство однородно и изотропно, т. е. все точки и направления в нем равноправны. Размерность пространства определяется максимально возможным числом линейно независимых векторов. В аффинном пространстве п измерений (An) существует п линейно независимых векторов, но любые п 1 векторов являются линейно зависимыми.
Рассмотрим некоторую точку О пространства An и п каких-либо линейно независимых векторов Bi ,. . . , еп (их можно считать выходящими из точки О). Присоединяя к ним произвольный вектор ж, получим совокупность п + 1 линейно зависимых векторов. Следовательно, должно иметь место соотношение
ах + ^e1 H-----b otnen = О,
причем а не может быть равно нулю в силу линейной независимости et , .. . , еп. Отсюда после деления на а находим разложение произвольного вектора х по п линейно независимым векторам
X = X1Cfl. (1)
Здесь, как и всюду в дальнейшем, принято, что по дважды встречающемуся индексу — один раз внизу и один раз вверху — происходит суммирование от 1 до п — числа размерности пространства.
Совокупность точки О ж п линейно независимых векторов еи. . ., епносит название аффинного репера, а коэффициенты Xі разложения вектора х по векторам репера называются аффинными координатами вектора относительно данного репера. В силу линейной независимости 46
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
векторов репера эти коэффициенты определяются единственным образом. Аффинными координатами произвольной точки M относительно данного репера называются аффинные координаты ее радиуса-вектора OM относительно того же репера.
Выясним, как изменяются аффинные координаты вектора при аффинных (линейных) преобразованиях векторов репера. Считая начало репера неподвижным (перенос начала не является существенным), рассмотрим неособенное преобразование
= Abei (2)
от старого репера еи . . ., еп к новому . . ., еп>. Надо отметить, что і' — это индекс, совершенно не связанный с г, и штрих фактически относится не к самому индексу, а указывает на принадлежность к новому реперу. Часто преобразования вида (2) записывают в форме
ек = А\еи
где еи . . ., е'п — векторы нового репера. Однако ниже будет использоваться запись типа (2).
В силу неособенности преобразования (2) существует обратное преобразование
е{ = Afevf (3)
причем коэффициенты прямого и обратного преобразований связаны зависимостями
4'4 = б|, AlAt = (4)
где 6j — символ Кронекера со значениями
I0' ы
oi = U і-/. (5)
Наряду с разложением (1) рассмотрим разложение того же вектора по векторам нового репера
