Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В силу (14) и (1) эти координаты имеют простое истолкование:
Xi = Xei. (21)
В свою очередь контрвариантные координаты вектора получаются из ковариантных путем поднятия индекса
= SijXj. (22)
Для тензоров, валентность которых больше единицы, надо нумеровать верхние и нижние индексы в их совокупности, чтобы избежать неопределенности при поднятии и опускании индексов. Заметим еще, что поднятие одного (любого) из нижних индексов ковариантного метрического тензора приводит к символу Кронекера, представляющего собой двухвалентный смешанный тензор со значениями (5) в любых аффинных системах координат
gl = 8ikgi* = ol (23)
§ 3. Псевдоевклидовы пространства
Рассмотрим в А п т линейно независимых векторов аи . . ., ат(т ^ п) и построим множество всех точек M, для которых вектор OM допускает разложение по аи . . ., ат. Полученное пространство Am называется т- мерной плоскостью в А п с направляющими векторами аи . . ., ат. Частными случаями m-мерной плоскости являются прямая линия (т = 1), двумерная плоскость (т = = 2) и гиперплоскость (т = п — 1). Аналитически т- мерная плоскость может быть задана либо неявно при помощи п — т независимых линейных уравнений относительно координат Xi1 . . ., хп, либо в явном виде путем параметрического задания Xі, . . ., хп как линейных функций от координат векторов aiy . . ат. Однако т-мерная плоскость в Rn не обязательно представляет собой пространство Rmi так как на этой плоскости может не выполняться условие невырожденности (хотя оно и выполняется в Rn). Иными словами, на этой плоскости может найтись вектор X =/= 0, ортогональный ко всем векторам плоскости, и такая плоскость с вырожденной метрикой называется изотропной. Вектор хфО, ортогональный к самому себе (для которого, 54
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. iI
таким образом, X2==O), также называется изотропным. В собственно евклидовом пространстве нет ни изотропных плоскостей, ни изотропных векторов, но в псевдоевклидовом пространстве такие плоскости и векторы существуют.
Рассмотрим, далее, прямую с направляющим вектором а (а1, . . ., ап) и совокупность всех векторов х (Xi1. . ., хп), ортогональных к этой прямой. Записывая условие обращения в нуль скалярного произведения векторов« их в виде
giiaixj = 0
и переходя к ковариантным координатам вектора а, имеем
CiiXi = 0,
что представляет собой уравнение гиперплоскости, проходящей через начало координат и ортогональной к данной прямой. При этом возможны два случая.
1-й случай: данная прямая — неизотропная, т. е. а2 =/= 0. Тогда вектор а не лежит в ортогональной гиперплоскости и линейно независим от ее п — 1 направляющих векторов. Следовательно, эти направляющие векторы и вектор а можно принять за п векторов аффинного репера в An. При этом сама ортогональная гиперплоскость также является неизотропной.
2-й случай* данная прямая — изотропная. Тогда вектор а лежит в ортогональной гиперплоскости, и сама она также является изотропной.
При помощи понятия га-мерной плоскости процесс построения ортонормированного репера в Rn может быть описан следующим образом. Выбирается некоторый неизотропный вектор X и производится его нормировка. Если X2 > 0, то нормировка достигается путем введения единичного вектора Єі такого, что
Если же X2 < 0, то вводится мнимоединичный вектор et: § ЗІ ПСЕВДОЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
55
Далее выбирается гиперплоскость, ортогональная к Єі . Она неизотропна и представляет собой евклидово пространство R n_i. На ней выбирается некоторый неизотропный вектор, и весь процесс повторяется. В результате получается ортонормированньтй репер et, . . ., е п. Легко подсчитать, что ортонормированный репер в Rn характеризуется п (п -f- 1)/2 независимыми параметрами, в то время как произвольный репер в An имеет п (п + 1) независимых параметров. Орты репера можно упорядочить так, чтобы сначала шли мнимоединичные векторы, затем — единичные. Считая число мнимоединичньтх векторов равным А (<; п), получаем по (14)
gcc? = — Sa?, gij == б ij (24)
(а, ? = 1, 2, . . ., А; і, J = к + 1, к + 2, . . ., п)%
где 6ij имеет прежние значения (5). Поэтому
Xql = — Xа, Xi = Xі
a =1,2,..., к; І= к +1, к +2,.. , п) (25)
ху= - X^y1 — ... — хкук+ + . . . + хпуп, (26)
X2 = - (я1)2 - ... - (Xk)2 + (х*+1)2 + . . . + (Xn)2. (27)
В данном R п при любом выборе репера число к, называемое индексом евклидова пространства, всегда одно и то же. Пространство с к = 0 является собственно евклидовым. Пространство с к = п также представляет собой собственно евклидово пространство, поскольку все длины в этом пространстве умножаются на Y—1. Вообще, если в двух пространствах соответствующие скалярные произведения отличаются лишь знаком, то эти пространства не являются существенно различными. Пространство с индексом к, заключенным в пределах 0 < к < п, представляет собой псевдоевклидово пространство, и простейшим примером такого пространства служит псевдоевклидова плоскость (п = 2, A=I).
При изучении геометрии псевдоевклидовой плоскости (и вообще псевдоевклидова пространства индекса 1 удобно вести нумерацию координат от нуля, отмечая нулевым индексом мнимоединичный вектор. Пусть
