Релятивистская небесная механика - Брумберг В.А.
Скачать (прямая ссылка):
В собственно римановом пространстве всегда ds2 ^> О, но в псевдоримановом существуют кривые вещественной (ds2 > 0), мнимой (ds2 < 0) и нулевой (ds2 = 0) длины. Евклидово пространство Rn можно рассматривать теперь как частный случай V711 когда существуют такие координаты (аффинные), в которых во всей области компоненты g^ постоянны (и путем нормировки эти постоянные можно всегда свести к значениям 0, +1).
Определитель g, составленный из компонент метрического тензора gij, является в V711 так же как и в Rn, отно-
3 в. А. Брумберг 66
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОИ ГЕОМЕТРИИ [ГЛ. iI
сительным инвариантом веса два. При преобразовании (38) этот определитель преобразуется по закону
что является непосредственным обобщением формулы (18). Поэтому га-кратный интеграл, взятый по некоторой области Q,
W = J V\i\ dx1... dx11 (55)
Q
инвариантен по отношению к преобразованию (38). Так как в аффинных координатах в Rn это выражение является естественным обобщением объема в обычном трехмерном пространстве, то и в криволинейных координатах в Rn и в пространстве Vn этот интеграл принимается за определение объема области Q.
Если в Vn задана m-мерная поверхность SWm (т га)
Xі = Xі (и1,..., ит),
то дифференциал дуги при произвольном бесконечно малом смещении по произвольной кривой в SWm в силу
дхі
dx* = — dua (a = 1,..., т) du
будет
ds2 = Ga?du*dufi (а, ? = 1,..., m), (56)
где
Ga? (u\ ..., и-) = g.. gg (<•/»!.....n). (57)
При этом, если выполняется условие невырожденности, т. е. det У Ga? И ф 0, то эта /га-мерная поверхность SWm представляет собой риманово пространство Vm с метрическим тензором Ga?. Поверхность, для которой det Il Ga? Il = = Ot называется изотропной. НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
67
§ 6. Неевклидовы пространства
Простейшим примером римановых пространств являются неевклидовы пространства (в узком смысле слова). Эти пространства реализуются следующим образом. Рассматривается невырожденная m-мерная поверхность ERm (т. е. пространство Vm) при условии, что вмещающее пространство Vn представляет собой евклидово пространство Rn. Одно это обстоятельство ведет к упрощениям. Действительно, если Xі — аффинные координаты в Rn и X = X {и1, . . . , ит) — радиус-вектор произвольной точки в Vm, то метрическая форма пространства Vm ds2 = dx2 по-прежнему определяется выражением (56), где на этот раз
г дх дх
Будем рассматривать частный случай, когда поверхность Vm представляет собой гиперсферу Sn^11 т. е. множество всех точек в Rni находящихся на постоянном расстоянии (вещественном, чисто мнимом или нулевом) от некоторой фиксированной точки. Римановы геометрии, реализующиеся на гиперсферах Sn^1 в Rni называются неевклидовыми, а сами гиперсферы — неевклидовыми пространствами. Эти пространства характеризуются значением индекса к = 0, 1, . . ., п вмещающего пространства Rn и вещественным или чисто мнимым значением радиуса гиперсферы. Нулевое значение радиуса исключается, так как тогда Sn^1 становится изотропной поверхностью.
Уравнение гиперсферы Sn^1 в аффинных координатах в Rn будет
+ + . . . + я"2 = р2. (58)
Можно считать, что р — вещественная положительная постоянная. Это уравнение включает и случай чисто мнимого радиуса, так как его можно переписать в виде
*12+... ... _^2=_р2
и истолковать как уравнение гиперсферы мнимого радиуса Y—Ip в пространстве Rn с индексом п — к. При этом все длины в Rn и Sn-! умножаются на ]/—1. Вообще,
3* 68
ЭЛЕМЕНТЫ РИМАНОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
[ГЛ. 2
гиперсфера Sп—± радиуса р в пространстве RnC индексом к имеет ту же риманову геометрию, что и гиперсфера Sn^1 радиуса Y—Ip в пространстве Rn с индексом п—к (если не считать умножения всех длин на У—1).
Итак, будем считать в (58) р > 0. Так как случай к = = п при этом невозможен, допустим, что коэффициент при хп* всегда равен +1. Укажем теперь три часто употребляемые координатные системы на гиперсфере Sn^1.
1. Рассмотрим точку M (х1, . . ., хп), лежащую на гиперсфере и спроектируем ее параллельно оси хп
на экваториальную плоскость, представляющую собой пространство Rn^1 (гиперплоскость хп = 0). Координаты ха (а = 1, . . ., п — 1) точки Q (я1, . . я*1"1, 0) полученной таким образом проекции примем за координаты, характеризующие положение точки M на гиперсфере (рис. 4). Экватор хп = 0 является особой линией этой координатной системы. Каждой системе неособых значений координат ха соответствуют две точки гиперсферы.
Перепишем уравнение гиперсферы и метрическую форму в Rn в виде
Рис. 4.
Г2 + = р2) ds2 = dr2 + dxn\
(59)
(60) НЕЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
69
где
г2 = - Xі2 - ... - Xkt + (хк+1)2 + ... + (Zn"1)2, (61)
dr2 = - dx12 - ... - da? + (<dxk+l)2 + ... + (Cfaflr"1)1. (62)
Метрика на S71W1 получается из (59) и (60) простым исключением хп, именно
+ (63)
причем
г dr = — X1Au1 — ... — + dxk+1 + ... + Sn^dte*-1.
(64)
2. Примем за координаты на гиперсфере Sn^1 координаты Vа (а = 1,. . п — 1) точкиN (у1, . .., Vnrl • — р) центральной проекции M на гиперплоскость Я'п-1э проходящую через точку Р'(0,. . ., 0, — р) ортогонально оси хп. Экватор и в этих координатах является особой линией, не имеющей проекции. Условие коллинеарности векторов
